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            portada Miramontes 
Matemáticas:
la gramática de la naturaleza.
El lenguaje de la complejidad
y los fenómenos no lineales.
Antología de la revista Ciencias 2.
Coord. César Carrillo Trueba
UNAM-Siglo XXI, México. 2012
   
   
     
                     
Las buenas vibras

Toda onda u oscilación se caracteriza por tener una frecuencia, que es el número de vaivenes por unidad de tiempo y que se mide en ciclos por segundo, unidades llamadas hertzios en honor a Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894); y una amplitud que es el tamaño de las crestas de las ondas. Otra magnitud importante es la llamada longitud de onda, que no es otra cosa que la distancia entre cresta y cresta o valle y valle de ondas consecutivas, una variable inversamente proporcional a la frecuencia: longitudes de onda pequeñas corresponden a frecuencias  altas y viceversa.
 
Cada uno de los colores que componen el espectro  corresponde a una frecuencia de oscilaciones electromagnéticas o a una longitud de onda. Así, por ejemplo, el color rojo tiene una longitud de onda de 650 nanómetros (mil millonésimos de metro) y la longitud de onda más corta que podemos percibir es el violeta profundo con una longitud de onda de 380 nanómetros. De todas las frecuencias posibles, sólo un intervalo es accesible a nuestra vista y se conoce como el visible. Frecuencias mayores y menores no son detectables a través de los ojos, pero su existencia quedó fuera de toda duda Herschel, mediante un ingenioso experimento que consiste en medir con un termómetro sumamente sensible los cambios de temperatura  que se producen al desplazar el termómetro a lo largo del espectro, encontró que había luz que no se podía mirar a la izquierda del rojo, pero que el termómetro detectaba.  Esta radiación infrarroja escapa  al sentido de la vista, pero se percibe en la piel como una sensación  de calor.
 
Un año más tarde, en 1801, y seguramente inspirado por los experimentos de Herschel, Johann Wilhem Ritter descubrió que más allá del violeta del arcoíris existe una luz invisible que oscurece un papel impregnado de sales de plata aún más rápido que la porción violeta del arcoíris. Tanto el infrarrojo como el ultravioleta son formas de luz (invisible para nosotros), así como también lo son las oscilaciones que se extienden hacia las altas frecuencias  (rayos x, rayos gama, etcétera) o bien, que prolongan al infrarrojo hacia las bajas frecuencias  (ondas de radio y microondas.)
 
Una gráfica de la frecuencia (o longitud de onda) en el eje de las abscisas  contra la intensidad de cada una de las frecuencias  en el eje vertical, se llama espectro  o densidad espectral. Estas representaciones son harto útiles, pues de un vistazo nos permiten saber las características de la fuente luminosa. El espectro  de una lámpara roja sería únicamente una línea vertical sobre el punto de la abscisa que le corresponde a la longitud de onda de 650 nanómetros. Evidentemente, la fuente de luz que más influencia tiene sobre nuestras vidas es el astro rey. [En el] espectro de la luz que recibimos de nuestra estrella; podemos apreciar que contiene prácticamente todas las longitudes de onda aunque en proporciones diversas, como ya lo decía la magnífica sor Juana  cuando hablaba de Apolo-Tonatiuh:
 
“Rico el hermoso manto de sus luces, / guarnecido de puntas que son rayos, / sin que pueda pasar por demasía, / tira lo que es rojo a ser dorado. / Con realce de Estrellas, suelto al aire, / pudiera azul celeste  ir publicando / que de su banda tiene los colores.”
 
“Tira lo que es rojo a ser dorado”. Hermosa descripción del matiz del Sol en su tránsito de la aurora al apogeo. ¿Cómo puede algo que es rojo convertirse en dorado? El espectro solar tiene su máximo cerca de la longitud de onda de 600 nm, lo que corresponde  al color amarillo, pero al amanecer  y en el ocaso, los rayos solares tienen que atravesar una capa más extensa  de aire, pues entran de sesgo  a la atmósfera y ésta absorbe la mayoría de las longitudes de onda, dejándonos el color rojo, para fortuna de poetas  y deleite nuestro cuando se mira desde  una playa. Lo que es rojo lo es porque absorbe todas las longitudes de onda y refleja solamente la que corresponde  al color rojo. Un objeto que vemos rojo no es rojo intrínsecamente, sólo se ve rojo. Si lo iluminamos con luz verde o azul, se ve negro. En un mundo que tuviese un sol cuya luz careciera de la componente verde, las plantas serían negras. Se ha argumentado mucho que la retina de los humanos tiene un máximo de sensibilidad en el color amarillo debido a un ajuste selectivo que ha conducido a que la evolución de nuestros ojos se adapte al máximo de la emisión solar. Es una explicación interesante, pero no explica por qué algunos animales desarrollaron una visión en blanco y negro.
 

¿Qué onda con el ruido?
 

También los sonidos son ondas; es decir vibraciones, pero que en este caso se propagan longitudinalmente: las vibraciones corren a lo largo de la dirección de propagación, zonas de compresión y rarefacción que se alejan de la fuente. El sonido requiere algún medio material como el aire o el agua para viajar. Una oscilación sonora, al igual que la luz, se puede caracterizar mediante una frecuencia o longitud de onda y una amplitud. La diferencia entre un sonido grave y uno agudo se debe a la frecuencia de las ondas sonoras, mientras que la intensidad o volumen del sonido se debe a la amplitud de la onda.
 
Cada una de las notas musicales corresponde  a una frecuencia bien determinada y esto nos permite hablar de un espectro  acústico (Newton no estaba  tan errado al hacer una analogía entre los siete colores del arcoíris y las siete notas musicales). Así, por ejemplo, 440 oscilaciones por segundo dan la nota La, detalle que es bien conocido por todos los amantes  de la música afroantillana y, en particular, del merengue dominicano. Curiosamente, el La de 440 Hz es la nota que se escucha  como tono de invitación a marcar cuando uno descuelga el teléfono. El doble de la frecuencia, 880 Hz, también es La pero una octava más alta; en esa octava caben el resto de las notas (La-Si-Do-Re-Mi-Fa-Sol) con frecuencias arregladas en orden ascendente.
 

De colores [...] los campos…
 

La analogía newtoniana entre luz y sonido se extiende entonces a las series de tiempo: hay luz blanca, ruido blanco y series de tiempo blancas, ¡y también las habrá de todos los colores!
 
La analogía nos llevará a extremos interesantes e incluso divertidos: por ejemplo, si tenemos una fuente de sonido que emita ruido blanco (recordemos que es la mezcla de todas las frecuencias) pero en un medio de propagación que absorba las ondas con frecuencias altas, como es el caso del mar, entonces queda el llamado ruido rojo, concepto que se usa a veces en oceanografía  y en el estudio de la dinámica de poblaciones en ecología. ¿Por qué no, entonces, hablar de una jornada roja en la Casa de Bolsa? Se puede, y no quiere decir que hubo violencia, sino que en las fluctuaciones de un día del índice de precios y valores predominaron, en número, las pequeñas sobre las grandes, y eso se miraría en una gráfica espectral como una curva que desciende de valores grandes en las frecuencias bajas a pequeñas en las frecuencias  altas. ¿Y series de tiempo azules? ¿Y de qué color es el registro de temperaturas en la ciudad de México? ¿Qué color tienen los datos de paperas  en el país?
 
Si ya captamos  la idea de interpretar en términos de colores los espectros de sonidos y de las series de datos, entonces podemos hacer un catálogo cromático de fenómenos según su espectro.
     
 _____________________________________________________________      
(Fragmentos del artículo “El color del ruido” de Pedro Miramontes, incluido en la antología).      
       

 

 

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Integración gráfica

Gloria Rubí Vázquez, Adina Jordan Aramburo, Manuel Moreno Mercado
y Sergio Pou Alberú
   
   
     
                     
La derivada y la integral son dos conceptos importantes
en matemáticas. El entendimiento de su significado y la relación entre ambos operadores, así como la habilidad para realizar cálculos con ellos, potencian su aplicación en varias ramas del conocimiento de las ciencias naturales y exactas.
 
El primer encuentro con el cálculo diferencial e integral suele ser en la preparatoria, cuando los estudiantes escuchan, entre otros conceptos, las ideas de función, continuidad, punto de acumulación, límite, derivada e integral, aprenden a calcular la delta que corresponde a una épsilon arbitraria —tan pequeña como se quiera— y demuestran que un número específico efectivamente es el límite de cierta función cuando su variable independiente tiende a un valor determinado de su dominio.
 
También aprenden que la derivada de la función seno es el coseno, que 2x es la derivada respecto de x de x2, que la derivada de la función tangente es secante cuadrada.
 
Estas cosas “se saben” cuando se ha pasado por un curso de cálculo diferencial, independientemente de que el significado de las mismas no siempre se comprenda claramente.
 
Para derivar una función f(x) que sea derivable, —porque no todas lo son o no lo son en todos los valores de x —, solamente se necesita memorizar y saber aplicar un conjunto de cuatro reglas de derivación básicas: suma, producto, división de funciones y la regla de la cadena; más otro conjunto de derivadas de funciones como: xr, seno, coseno, exponencial y logarítmica.
 
Esperaríamos que si se le cuestiona a un estudiante de cálculo por qué D[x2]=2x, conteste que es porque:
 
 ecuacion02
 
También sería admisible si el alumno argumenta lo siguiente: porque la pendiente de la recta tangente a la curva y = x2, en cualquier valor de x, es 2x; por ejemplo, si x = 0.5, entonces la recta tangente a la curva tiene pendiente uno, es decir, la inclinación de dicha recta es 45º.
 
Si se pide a un estudiante justificar que D[cos2 (x3)]= 6x2 cos(x3) sen(x3), lo más probable es que use el argumento de la pendiente de la recta tangente, pues difícilmente se encharcará en el cálculo del límite.
 
Calcular derivadas aplicando la definición puede convertirse en un problema algebraico y aritmético; sin embargo, afortunadamente, conociendo las reglas de derivación que se mencionaron antes, lo único que debe preocuparnos para obtener la derivada de una función f(x) es observar el cumplimiento de la siguiente condición: si f(x) es continua y suave (en donde suave significa sin picos en la gráfica de la función) en [a, b], entonces Dx[f (x)] existe para toda x ∈ [a, b].
 
Integrales
 
Respecto del cálculo de integrales definidas o indefinidas, el procedimiento común plantea encontrar la antiderivada o primitiva del integrando o función de la que se pretende integrar.

La mayoría de los textos básicos de cálculo mencionan algunas técnicas de integración (por partes, por sustitución de variable, por sustitución trigonométrica, mediante fracciones parciales), en todas ellas, la finalidad es representar el integrando de manera que su antiderivada pueda identificarse. En dichos textos se deducen las primitivas de varias funciones típicas, como seno y coseno, exponencial, algebraicas y polinomiales. Los profesores de cálculo integral invitan a sus estudiantes a realizar el mayor número de ejercicios de integración con el objetivo de que se vuelvan diestros en esto de calcular integrales.
 
¿Será que cuando un alumno dice que la integral de equis es un medio de equis cuadrada más la constante, realmente entiende lo que dice? En cambio si dijera que Dx [(1/2)x2 + c] = x , nos preguntaríamos si existe alguna interpretación geométrica.
 
Una definición formal de integral es la de Bernhard Riemann
(figura 1):
 
ecuacion01
 
 fig01 113B08
Figura 1. La gráfica de la integral de a a b, f (x)dx = F (x) indica el área de la región del plano encerrada por la curva f, las rectas x = a, x = b y el eje horizontal.
 
esto significa que el intervalo [a, b] se ha partido en n pedacitos Δxi; x*i es algún valor de x que se encuentra en el iésimo pedacito correspondiente.
 
Es común pensar que para integrar es necesario saber derivar, pero la definición de integral indica que únicamente se requiere sumar y multiplicar, siempre y cuando la función sea continua o esté definida en trozos, en el intervalo de integración, que en este caso es [a, b].
 
Es grato saber que no tenemos que emprender una búsqueda larga y tal vez engorrosa por varios cambios de variables, una descomposición en fracciones parciales y rematar con una sustitución trigonométrica, hasta lograr expresar el integrando en tal forma que podamos identificar su primitiva. Podemos ser prácticos y evaluar una integral en el intervalo [a, b], partiendo de la definición de Riemann, pero simulando el proceso de límite con un programa de cómputo.
 
Nos estamos refiriendo a la integración numérica, que permite calcular integrales con un excelente grado de precisión. En asignaturas sobre métodos numéricos aprendemos que existen varias reglas de integración numérica, como la de Simpson o la del trapecio; en cursos de programación desarrollamos habilidades para usar dichos métodos con el apoyo de una computadora obteniendo resultados aproximados, incluso mejorables, siempre y cuando el problema que tengamos que resolver lo solicite y las limitaciones de cómputo lo permitan.
 
En la figura 2 vemos que el área bajo la curva se ha seccionado en rectángulos y casi triángulos, es claro que la suma de las áreas de los polígonos se aproxima a la integral que se pretende calcular y también lo es que, si aumentamos el número de rectángulos, el cálculo del área será más fino y, por lo mismo, más cercano al valor real de la integral.
 
fig02 113B08
Figura 2. La integración numérica consiste en sumar áreas de figuras planas conocidas (rectángulo, trapecio, triángulo, etcétera).

Actualmente con un equipo de cómputo y un software eficiente se facilita el uso de algún programa para integrar. Basta teclear la función que se desea integrar y el intervalo de integración para que el valor de la integral aparezca desplegado en el monitor.

Curvas integrales
 

No obstante, existe otra manera de vislumbrar primitivas o antiderivadas: gráficamente. Supongamos que queremos ∫x dx. El caso es sencillo, la derivada de (1/2) x2 + c es x.
 
Vamos a jugar un poco con esta función para integrar gráficamente. Tomemos al integrando x, si le damos cierto valor constante k, lo que obtenemos es una recta paralela al eje Y, a una distancia k. Eso significa que la gráfica de la primitiva, al cruzar la recta x = k deberá hacerlo con una pendiente m = k, es decir con un ángulo cuya tangente sea k. Por ejemplo, si proponemos k = 1 entonces x = 1 y la gráfica de la primitiva tendrá que pasar por cada punto (1, y ) con una inclinación de 45º. Si ahora proponemos x = -1, entonces la curva de la primitiva, al pasar por cada punto de la recta, es decir cada punto (-1, y ), tendrá que cruzarla con pendiente de -45º (figura 3).
 
fig03 113B08
 Figura 3. Pendientes de la gráfica primitiva x = 1 y x = -1.
 
Recordemos que la derivada de una función evaluada en un punto, corresponde a la pendiente que tendría la recta tangente de la función que se deriva, justamente en dicho punto.
 
El teorema fundamental del cálculo prácticamente establece que la derivada y la integral son operaciones inversas, de tal forma que resolver una integral implica encontrar una función que al derivarse se obtenga el integrando. Por lo que resulta que, efectivamente, dar valores arbitrarios al integrando es equivalente a adjudicar pendientes específicas a la primitiva que se busca. Así, las marcas en la figura 3 indican la forma en la que al graficar la primitiva, ésta cruzará las rectas x = 1 y x = -1.
 
En la figura 4, se muestra la gráfica para más valores de k en los números reales, aprovechando que el integrando en ∫x dx no tiene restricción en el conjunto de los números reales. Ahí se vislumbran muchas parábolas que nunca se enciman o se intersectan. Esto lo veremos si trazamos con un lápiz cada una de las líneas que unen las marcas que indican la dirección en cada punto del plano.
 
 fig04 113B08
Figura 4. Direcciones en las que las primitivas van a cruzar las rectas que se generan al asignar valores al integrando x, es decir, pasan por todos los puntos del plano XY.
 
Pero ya se había mencionado que la integral de x es un medio de equis cuadrada más la constante, es decir: ∫x dx = (1/2) x2 + c, y precisamente el lado derecho de esta expresión matemática es una familia de parábolas como las del gráfico anterior.
 
Entonces podemos concluir que el proceso de graficado que se ha presentado es una técnica de integración gráfica, en donde cada parábola corresponderá a algún valor constante c cualquiera, siempre que pertenezca al conjunto de los números reales.
 
Las parábolas que descubrimos se denominan curvas integrales, y todos los vectores asociados a cada punto del plano representado en la figura anterior se denomina campo direccional.
 
Faltaría hacer referencia a esas rectas x = k, en las que dibujamos líneas con la misma inclinación o pendiente. Si cada punto de esas rectas tiene asociada un vector con la misma inclinación, entonces se llaman isoclinas.
 
Esta técnica de integración gráfica está bien documentada en textos de ecuaciones diferenciales y, construir el campo direccional buscando los puntos del plano en los que se asocie la misma inclinación, se denomina método de las isoclinas. Cabe aclarar que para el trazo del campo direccional no es necesario reconocer las isoclinas; se puede hacer punto a punto, ya que finalmente lo que interesa es dibujar la dirección correspondiente en cada punto (x, y).
 
Conclusión

Indudablemente, cuando se debe resolver una integral lo deseable es identificar plenamente la primitiva F(x) tal que Dx[F(x) + C] = f (x), donde ∫f(x) dx = F(x) + C. Pero como ya se ha mencionado no siempre es fácil descubrir F(x) y a veces ni siquiera es posible —cuando el integrando no se puede expresar como combinación de funciones elementales—, de tal forma que reconocer las curvas integrales por medio de un campo direccional puede resultar muy valioso porque da una excelente idea del comportamiento de la primitiva.
 
Antiguamente la construcción de campos direccionales resultaba muy laboriosa, pero actualmente se ha agilizado mucho ese trabajo. Los campos direccionales son muy útiles en algunas ramas de las matemáticas, así como en otras ciencias cuyo desarrollo exige utilizar matemáticas.
     
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 
Boyce, William E. y Richard C. DiPrima. 2001. Elementary differential equations and boundary value problems. John Wiley & Sons, Nueva York.
Edwards, Henry y David Penney. 2008. Cálculo con trascendentes tempranas. Pearson Educación, México.
Zill, Dennis y Michael Cullen. 2006. Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera. CENGAGE Learning, México.
     
       
 _____________________________________________________________      
Gloria Elena Rubí Vázquez y Adina Jordan Aramburo
Facultad de Ciencias,
Universidad Autónoma de Baja California.

Manuel Moreno Mercado
Facultad de Ciencias Marinas,
Universidad Autónoma de Baja California.

Sergio Pou Alberú
Facultad de Ingeniería, Arquitectura y Diseño,
Universidad Autónoma de Baja California.
     
_____________________________________________________________      
como citar este artículo
Rubí Vázquez, Gloria Elena. Manuel Moreno Mercado y Sergio Pou Alberú. 2014. Integración gráfica. Ciencias, núm. 113-114, abril-septiembre, pp. 132-135. [En línea].
     

 

 

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Mi vida con la ola

Cuando dejé aquel mar, una ola se adelantó entre todas. Era esbelta y ligera. A pesar de los gritos de las otras, que la detenían por el vestido flotante, se colgó de mi brazo y se fue conmigo saltando. No quise decirle nada, porque me daba pena avergonzarla ante sus compañeras. Además, las miradas coléricas de las mayores me paralizaron.
 
Cuando llegamos al pueblo, le expliqué que no podía ser, que la vida en la ciudad no era lo que ella pensaba en su ingenuidad de ola que nunca ha salido del mar. Me miró seria: “Su decisión estaba tomada. No podía volver”. Intenté dulzura, dureza, ironía. Ella lloró, gritó, acarició, amenazó. Tuve que pedirle perdón. Al día siguiente empezaron mis penas. ¿Cómo subir al tren sin que nos vieran el conductor, los pasajeros, la policía? Es cierto que los reglamentos no dicen nada respecto  al transporte de olas en los ferrocarriles, pero esa misma reserva era un indicio de la severidad con que se juzgaría nuestro acto.
 
Tras de mucho cavilar me presenté en la estación una hora antes de la salida, ocupé mi asiento y, cuando nadie me veía, vacié el depósito de agua para los pasajeros; luego, cuidadosamente, vertí en él a mi amiga.
 
El primer incidente surgió cuando los niños de un matrimonio vecino declararon su ruidosa sed. Les salí al paso y les prometí re frescos y limonadas. Estaban a punto de aceptar cuando se acercó otra sedienta. Quise invitarla también, pero la mirada de su acompañante me detuvo. La señora tomo un vasito de papel, se acerco al depósito y abrió la llave. Apenas estaba  a medio llenar el vaso cuando me interpuse de un salto entre ella y mi amiga. La señora me miró con asombro. Mientras pedía disculpas, uno de los niños volvió abrir el depósito. Lo cerré con violencia.
 
La señora se llevó el vaso a los labios: —Ay el agua está salada. El niño le hizo eco. Varios pasajeros se levantaron. El marido llamó al Conductor: —Este individuo echo sal al agua. El Conductor llamó al Inspector: —¿Conque usted echó substancias en el agua? El Inspector llamó al Policía en turno: —¿Conque usted echó veneno al agua? El Policía en turno llamó al Capitán: —¿Conque usted es el envenenador?  El Capitán llamó a tres agentes.  Los agentes me llevaron a un vagón solitario, entre las miradas y los cuchicheos de los pasajeros. En la primera estación me bajaron y a empujones me arrastraron a la cárcel. Durante días no se me habló, excepto durante los largos interrogatorios. Cuando contaba mi caso nadie me creía, ni siquiera el carcelero, que movía la cabeza, diciendo: “El asunto es grave, verdaderamente grave. ¿No había querido envenenar a unos niños?” Una tarde me llevaron ante el Procurador. —Su asunto es difícil —repitió—. Voy a consignarlo al Juez Penal. Así pasó un año. Al fin me juzgaron. Como no hubo víctimas, mi conde na fue ligera. Al poco tiempo, llegó el día de la libertad. El Jefe de la Prisión me llamó: —Bueno, ya está libre. Tuvo suerte. Gracias a que no hubo desgracias. Pero que no se vuelva a repetir, porque la próxima le costará caro… Y me miró con la misma mirada seria con que todos me veían.
 
Esa misma tarde tomé el tren y luego de unas horas de viaje incómodo llegué a México. Tomé un taxi y me dirigí a casa. Al llegar a la puerta de mi departamento oí risas y cantos. Sentí un dolor en el pecho, como el golpe de la ola de la sorpresa cuando la sorpresa nos golpea en pleno pecho: mi amiga estaba  allí, cantando y riendo como siempre. —¿Cómo regresaste?— Muy fácil: en el tren. Alguien, después de cerciorarse de que sólo era agua salada, me arrojó en la locomotora. Fue un viaje agitado: de pronto era un penacho blanco de vapor, de pronto caía en lluvia fina sobre la máquina. Adelgace mucho. Perdí muchas gotas. Su presencia  cambio mi vida. La casa de pasillos obscuros y muebles empolvados se llenó de aire, de sol, de rumores y reflejos verdes y azules, pueblo numeroso y feliz de reverberaciones y ecos.
 
¡Cuántas olas es una ola o cómo puede hacer playa o roca o rompeolas un muro, un pecho, una frente que corona de espumas! Hasta los rincones abandonados,  los abyectos rincones del polvo y los detritus fueron tocados por sus manos ligeras. Todo se puso a sonreír y por todas partes brillaban dientes blancos. El sol entraba con gusto en las viejas habitaciones y se quedaba en casa por horas, cuando ya hacía tiempo que había abandonado  las otras casas, el barrio, la ciudad, el país. Y varias noches, ya tarde, las escandalizadas estrellas lo vieron salir de mi casa, a escondidas. El amor era un juego, una creación perpetua. Todo era playa, arena, lecho de sábanas siempre frescas. Si la abrazaba, ella se erguía, increíblemente esbelta, como tallo líquido de un chopo; y de pronto esa delgadez florecía en un chorro de plumas blancas, en un penacho de risas de caían sobre mi cabeza y mi espalda y me cubrían de blancuras. O se extendía frente a mí, infinita como el horizonte, hasta que yo también me hacía horizonte y silencio. Plena y sinuosa, me envolvía como una música o unos labios inmensos. Su presencia era un ir y venir de caricias, de rumores, de besos. Entraba en sus aguas, me ahogaba  a medias y en un cerrar de ojos me encontraba arriba, en lo alto del vértigo, misteriosamente suspendido, para caer después como una piedra, y sentirme suavemente  depositado en lo seco, como una pluma. Nada es comparable a dormir mecido en las aguas, si no es despertar  golpeado por mil alegres látigos ligeros, por arremetidas que se retiran riendo.
 
Pero jamás llegué al centro de su ser. Nunca toqué el nudo del ay y de la muerte. Quizá en las olas no existe ese sitio secreto que hace vulnerable y mortal a la mujer, ese pequeño botón eléctrico donde todo se enlaza, se crispa y se yergue, para luego desfallecer. Su sensibilidad, como las mujeres, se propagaba en ondas, solo que no eran ondas concéntricas, sino excéntricas, que se extendían cada vez más lejos, hasta tocar otros astros. Amarla era prolongarse en contactos  remotos, vibrar con estrellas lejanas que no sospechamos. Pero su centro… no, no tenía centro, sino un vacío parecido al de los torbellinos, que me chupaba y me asfixiaba.
 
Tendido el uno al lado de otro, cambiábamos confidencias, cuchicheos, risas. Hecha un ovillo, caía sobre mi pecho y allí se desplegaba como una vegetación de rumores. Cantaba a mi oído, caracola. Se hacia humilde y transparente, echada  a mis pies como un animalito, agua mansa. Era tan límpida que podía leer todos sus pensamientos.  Ciertas noches su piel se cubría de fosforescencias y abrazarla era abrazar un pedazo de noche tatuada de fuego. Pero se hacia también negra y amarga. A horas inesperadas mugía, suspiraba, se retorcía. Sus gemidos despertaban a los vecinos. Al oírla el viento del mar se ponía a rascar la puerta de la casa o deliraba en voz alta por las azoteas. Los días nublados la irritaban; rompía muebles, decía malas palabras, me cubría de insultos y de una espuma gris y verdosa. Escupía, lloraba, juraba, profetizaba. Sujeta a la luna, las estrellas, al influjo de la luz de otros mundos, cambiaba de humor y de semblante de una manera que a mí me parecía fantástica, pero que era tal como la marea.
 
Empezó a quejarse de soledad. Llené la casa de caracolas y conchas, pequeños barcos veleros, que en sus días de furia hacia naufragar (junto con los otros, cargados de imágenes, que todas las noches salían de mi frente y se hundía en sus feroces o graciosos torbellinos) ¡Cuántos pequeños tesoros se perdieron en ese tiempo! Pero no le bastaban mis barcos ni el canto silencioso de las caracolas. Confieso que no sin celos los veía nadar en mi amiga, acariciar sus pechos, dormir entre sus piernas, adornar su cabellera con leves relámpagos de colores. Entre todos aquellos peces había unos particularmente repulsivos y feroces, unos pequeños tigres de acuario, grandes ojos fijos y bocas hendidas y carniceras. No sé por qué aberración mi amiga se complacía en jugar con ellos, mostrándoles sin rubor una preferencia cuyo significado prefiero ignorar. Pasaba largas horas encerrada  con aquellas horribles criaturas.
 
Un día no pude más; eché abajo la puerta y me arrojé sobre ellos. Ágiles y fantasmales, se me escapaban entre las manos mientras ella reía y me golpeaba hasta derribarme. Sentí que me ahogaba. Y cuando estaba  a punto de morir, morado ya, me depositó en la orilla y empezó a besarme, y humillado.  Y al mismo tiempo la voluptuosidad me hizo cerrar los ojos. Porque su voz era dulce y me hablaba de la muerte deliciosa de los ahogados.
 
Cuando volví en mí, empecé  a temerla y a odiarla. Tenía descuidados mis asuntos. Empecé a frecuentar los amigos y reanudé viejas y queridas relaciones. Encontré a una amiga de juventud. Haciéndole jurar que me guardaría el secreto, le conté mi vida con la ola. Nada conmueve tanto a las mujeres como la posibilidad de salvar a un hombre.
 
Mi redentora empleó todas sus artes, pero, ¿qué podía una mujer, dueña de un número limitado de almas y cuerpos, frente a mi amiga, siempre cambiante —y siempre idéntica a sí misma en su metamorfosis incesantes? Vino el invierno. El cielo se volvió gris. La niebla cayó sobre la ciudad. Llovía una llovizna helada. Mi amiga gritaba todas las noches. Durante el día se aislaba, quieta y siniestra, mascullando una sola sílaba, como una vieja que rezonga en un rincón. Se puso fría; dormir con ella era tirar toda la noche y sentir cómo se helaba paulatinamente la sangre, los huesos, los pensamientos. Se volvió impenetrable, revuelta. Yo salía con frecuencia y mis ausencias eran cada vez más prolongadas. Ella, en su rincón, aullaba largamente. Con dientes acerados y lengua corrosiva roía los muros, desmoronaba las paredes. Pasaba las noches en vela, haciéndome reproches. Tenía pesadillas, deliraba con el sol, con un gran trozo de hielo, navegando bajo cielos negros en noches largas como meses. Me injuriaba. Maldecía y reía; llenaba la casa de carcajadas  y fantasmas. Llamaba a los monstruos de las profundidades, ciegos, rápidos y obtusos. Cargada de electricidad, carbonizaba lo que rozaba. Sus dulces brazos se volvieron cuerdas ásperas que me estrangulaban. Y su cuerpo verdoso y elástico, era un látigo implacable, que golpeaba, golpeaba, golpeaba.
 
Hui. Los horribles peces reían con risa feroz. Allá en las montañas, entre los altos pinos y los despeñaderos, respiré el aire frío y fino como un pensamiento de libertad. Al cabo de un mes regresé. Estaba decidido. Había hecho tanto frío que encontré sobre el mármol de la chimenea, junto al fuego extinto, una estatua de hielo. No me conmovió su aborrecida belleza. Le eché en un gran saco de lona y salí a la calle, con la dormida a cuestas. En un restaurante de las afueras la vendí a un cantinero amigo, que inmediatamente empezó a picarla en pequeños trozos, que depositó cuidadosamente  en las cubetas  donde se enfrían las botellas.
     
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Octavio Paz  (1914-1998)
Poeta, escritor, ensayista y diplomático mexicano
     

 

 

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La maravillosa inexactitud
de la simetría
de los copos
de nieve
César Carrillo Trueba
   
   
     
                     
Desde tiempos remotos, en la titudes lejanas al ecuador,
en donde el invierno se caracteriza por la blancura de la nieve que lo cubre todo, la forma de los copos de nieve ha sido objeto de atención, al punto que ha quedado plasmada en la iconografía de algunas culturas, como la de la antigua China, mientras en Occidente ocupó la mente de algunas de las figuras más sobresalientes de la ciencia. Descartes, Keppler, Cassini y Hooke, entre otros, dedicaron numerosas páginas, elaborando diversas hipótesis, teorías, catálogos completos de las distintas formas que presentan los copos de nieve.
 
Quizás el tratado más original e interesante sea el escrito en 1610 por Johannes Keppler. Admirado por la regularidad de la estructura hexagonal de los copos, el creador de la música de las esferas descarta de entrada cualquier atribución al azar en su formación: “pues si se produjera por mero azar, ¿por qué los copos no caen también de cinco ángulos o bien de siete?”. Keppler trata de dar cuenta de cómo la condensación de vapor de agua por el frío genera la simetría de seis picos característica, para lo cual crea un modelo a base de minúsculas esferas que, apiladas unas sobre otras, originarían dicha forma a escala microscópica —una idea genial pero que no resultó acertada, como lo explica detalladamente Vincent Fleury.
 
Intrigado por este fenómeno, a finales del siglo XIX, W. A. Bentley aprovechó la aún incipiente fotografía para dar cuenta del espectáculo que constituía su observación al microscopio, dejando cientos de placas que permiten apreciar en gran detalle la refinada estructura de estos cristales. Su ojo aguzado notó un aspecto clave: “cada copo de nieve tiene una belleza infinita la cual es todavía mayor porque sabemos que el investigador, con toda probabilidad, nunca encontrará uno exactamente igual a otro”. ¿Por qué ocurre esto?
 
A dicha interrogante trataron de responder muchos científicos, entre ellos Ukichiro Nakaya, quien a principios de la década de los treintas creó un dispositivo que recrea las condiciones en que se forman los cristales de nieve con el que, a lo largo de más de quince años de meticuloso trabajo, obtuvo una pléyade de estructuras que le permitieron aventurar sólidas hipótesis al respecto y crear la clasificación más completa que se ha efectuado hasta ahora.
 
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No obstante, la complejidad de este asunto no terminaba de rendirse ante la labor científica. Hubo que esperar la llegada de herramientas conceptuales capaces de adentrarse en ella: los fractales, la dinámica no lineal, la llamada ciencia del caos. Gracias a ello se ha establecido que, cuando el vapor de agua se condensa, se forman cristales de hielo cuya forma es hexagonal debido a la simetría molecular intrínseca; las moléculas de agua que son atrapadas por los ángulos forman poco a poco puntas, las cuales van creciendo de manera exponencial, ramificándose a distintas velocidades de manera casi fractal, algunas más que otras, menos gruesas o más largas, todo ello en función de las fluctuaciones térmicas, minúsculas irregularidad (“un puñado de átomos que se adhieren o se desprenden por el efecto de las variaciones locales en la velocidad de los átomos”, en palabras de Vincent Fleury).
 
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En esas puntas de crecimiento, en la interfase de sus múltiples ramificaciones y el entorno, se ubica lo que se denomina “el borde del caos”, la zona de inestabilidad o crítica, y es allí en donde tienen lugar los procesos que generan las formas. En realidad, allí se da una intensa relación entre estabilidad e inestabilidad; por un lado, la manera como se comporta la temperatura, la humedad, las turbulencias del aire, son fuente de inestabilidad, mientras que la tensión superficial que va resultando lo es de estabilidad. La tensión entre ambas es lo que resulta en una estructura regular de infinita variación.
 
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Figura 1. Clasificación de los tipos de copo de nieve elaborada por Ukichiro Nakaya
 
Esto es, la acumulación de todas las “perturbaciones singulares” que ocurren sucesiva mente, en cada instante de dicha dinámica microscópica, se va a manifestar macroscópicamente en la estructura de un copo de nieve. La manera como este proceso se desenvuelve en cada copo depende de las condiciones iniciales, que son distintas en cada uno de ellos, ya que las variaciones microscópicas de temperatura, hume dad y demás, y la relación de éstas con la tensión superficial resultante constituyen un universo inabarcable. Baste con dejar volar un poco la imaginación: si un copo de nieve tarda poco más de una hora en llegar al suelo... Aun así, el resultado final en todos los casos es una estructura definida... con una simetría casi total.
     
       
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 
Bentley, Wilson A. 2000. Snowflakes in Photographs. Dover Pictorial Archive, Nueva York.
Fleury, Vincent. 1998. Arbres de pierre. La croissance fractale de la matière, Flammarion, París.
Nakaya, Ukichiro. 1954. Snow Crystals: Natural and Artificial. Harvard University Press, Cambridge, Mass.
     
_____________________________________________________________      
César Carrillo Trueba
Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional Autónoma de México.
     
______________________________________________      
como citar este artículo
Carrillo Trueba, César. 2014. La maravillosa inexactitud de la simetría de los copos de nieves. Ciencias, núm. 113-114, abril-septiembre, pp. 114-117. [En línea].
     

 

 

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Saudade1 de Itapuã
 
Cocotero de Itapuã...
Cocotero!...
Arena de Itapuã...
Arena!...
Morena de Itapuã...
Morena
Saudade  de Itapuã...
Me deja!
 
El viento que hace cantigas
en las hojas, en lo alto del cocotal
El viento que ondea las aguas
Yo nunca tuve saudade igual
Me trae buenas noticias
De aquella tierra
Todas las mañanas
Y ponga una flor en el cuello
De una morena
En Itapuã

Cocotero de Itapuã...
Cocotero!...
Arena de Itapuã...
Arena!...
Morena de Itapuã...
Morena
Saudade  de Itapuã...
Me deja!

Sirena
En la playa desierta
De lejos, a la sirena
oigo cantar
Sirena... sirena... Es la linda sirena
Que huye de las olas
Para ver le luz de luna
Sirena... sirena...
 
Cuando hay luna llena
Ella viene por la arena
Viene huyendo del mar... ay, ay
Viene huyendo del mar
 
Ella viene por la playa
Pero si uno llega
Ella huye para el mar... ay, ay
Ella huye para el mar
 
En la fina malla
De mi jereré
Con todo la he de agarrar
Sirena... sirena...
 
La linda sirena
Que huye de las olas
Para ver la luz de luna
Sirena... sirena...
 
Promesa de pescador
Ê... ê... ê... ê...
A Alodê lemanjá Oê lá
lemanjá Oê lá2
 
Señora de las aguas
Cuide de mi hijo
Que yo también ya fui del mar
Hoy estoy viejo acabado
Ni un remo sé tomar
Cuide de mi hijo
Que yo también ya fui del mar

Ê... ê... ê... ê...
A Alodê lemanjá Oê lá
lemanjá Oê lá
 
Cuando sea su día
Pescador viejo promete
Pescador va llevar
Un regalo bien bonito
Para doña lemanjá
Su hijo será quien cargue
desde la tierra al mar
 
Ê... ê... ê... ê...
A Alodê lemanjá Oê lá
lemanjá Oê lá
 
Traducción de las canciones de dorival caymmi: César Carrillo Trueba.
1  Palabra casi intraducible, pues oscila entre nostalgia, añoranza y tristeza. Como es un tanto conocida en español, preferí no traducirla.
2  Éste es un saludo a la reina del mar, lemanjá.
 _____________________________________________________________      
Dorival Caymmi (1914-2008)
cantautor
 
     

 

 

 

 

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