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Martín Gonzalo Zapico y Marcos Gabriel Zapico
     
               
               
Las matemáticas y la lengua son, a nivel nacional y en muchos
otros países, las dos grandes disciplinas sobre las que se fundamenta la educación primaria y secundaria. No obstante, en la opinión pública, el alumnado, los padres y entre los mismos docentes, se suele ver como excluyente el estudio de ambas, puesto que son consideradas completamente diferentes entre sí.
 
Al profundizar en el estudio del lenguaje se llega a un punto en el cual surge una gran cantidad de similitudes con las matemáticas, y la curiosidad no puede sino tratar de establecer una relación entre ambas que explique eso que es tan intuitivo. Si se observan ambas disciplinas bajo la luz del concepto de sistema de símbolos, todo lo que en primera instancia parecía diferente se torna próximo y de repente tanto una como otra se puede analizar como un sistema que los sujetos usan para realizar una interpretación de lo real y delinear la realidad. Incluso se podrían plantear preguntas como: ¿los números y las operaciones algebraicas básicas son parte de nuestra lengua?, ¿son parte de todas las lenguas?, ¿el hecho de pensar con el sistema numérico que poseemos incide sobre la manera en que percibimos y construimos la realidad?, ¿se puede pensar mediante otro sistema numérico?
 
A partir de preguntas como éstas surgió la investigación que aquí presentamos, en la cual se trata de manera descriptiva las relaciones de dependencia que existen entre la forma de interpretar el mundo y las matemáticas, dependencia ampliamente estudiada y confirmada por muchos lingüistas.
 
Estado del arte
 
La bibliografía en torno a la reflexión sobre las matemáticas como lenguaje y sus consecuencias en la comunicación y comprensión del mundo es amplia pero para nada precisa. Así, encontramos numerosos libros y artículos donde se busca mostrar la relación que se puede establecer entre las matemáticas y la vida cotidiana, estudios enfocados a partir de la didáctica y la necesidad de hacer significativo el aprendizaje, así como otros dirigidos a las relaciones entre el lenguaje y su necesidad para la comprensión del análisis matemático.
 
En el campo de la semiótica y las matemáticas, en 1994, a partir de textos fundamentales de Ludwig Wittgenstein y clásicos de la semiótica como Umberto Eco y Roland Barthes, Luis Puig pone de relieve las profundas relaciones que existen entre los símbolos empleados en las matemáticas y la realidad que nos circunda. Con base en esto reflexiona sobre la fenomenología didáctica de Hans Freudenthal para explicar el carácter autorreferencial de las matemáticas, enmarcándolas en una semiosis que tiene como carácter referencial, no la realidad, sino el sistema mismo.
 
Por otra parte, el siglo pasado vio florecer y extinguirse un debate sobre si las matemáticas son o no un lenguaje. En su conocido libro ¿Es la matemática un lenguaje?, Daniel Quesada resume de manera concisa la polémica existente entre los partidarios del sí (generalmente filósofos y físicos, es decir, miembros de aquellas disciplinas de carácter más reflexivo) y los del no (los matemáticos más puros), en la cual el autor toma partido por la segunda, sosteniendo que las matemáticas no son un lenguaje sino una teoría que está formulada en el lenguaje de la lógica.
 
Nosotros no ignoramos dicho debate y su complejidad, la cual Quesada destaca como difícil de clarificar, pero al hablar de matemáticas y lenguaje no afirmamos que las matemáticas sean un lenguaje, sino que destacamos las consecuencias de tratar las matemáticas como tal y, a partir de dicho tratamiento, intentamos explicar los fenómenos de interpretación que surgen en el uso de la lengua natural como consecuencia de la incorporación de principios lingüísticos a las matemáticas. En una línea similar, aunque con otros matices, está la propuesta elaborada en el año 2000 por Pearla Nesher, quien señala que más allá de la afirmación taxativa sobre si son o no las matemáticas un lenguaje, hay similitudes que son interesantes.
 
Las matemáticas como lenguaje
 
Todos nos relacionamos con las matemáticas de una u otra manera. Desde el estudiante de las ciencias exactas que encuentra en ellas el sistema de símbolos que describe procesos físicos, químicos, etcétera, hasta el lector de textos de ciencias humanas, pasando por todos los intermedios y llegando incluso al señor o señora de la casa que va a comprar a sitios donde se emplean sistemas de medidas basados en números y escalas o proporciones.
 
Lo principal es observar cómo las matemáticas pueden ser definidas de forma sencilla en tanto que conjunto de símbolos dotado de un sistema de referencia autárquico. Los símbolos, por su carácter arbitrario y generalmente no motivado, siempre tienen como referencia el sistema mismo. Esto sucede también con las lenguas que conocemos y utilizamos, es una propiedad de la lengua que fue enunciada por el famoso lingüista Ferdinand de Saussure y había sido ya referida como una propiedad de todos los sistemas de signos y símbolos por el fundador de la pragmática, Charles Sanders Peirce, a finales del siglo xix. No obstante, no hay que confundir la referencia de valor que puede tener un símbolo en un conjunto con la referencia a la realidad que existe entre un símbolo y aquello a lo que refiere. Esta distinción ha sido bien marcada por otro gran lingüista, el francés Émile Benveniste, quien explicó que la relación entre el componente material (sonido, escritura) y mental (representación del símbolo, imagen mental) del símbolo no es lo mismo que la relación entre el símbolo como unidad y la realidad con la cual establece una relación de referencia —una consideración que causó gran polémica en su momento.
 
El lenguaje, por lo tanto, no puede dar cuenta de manera total de la realidad, no seamos ingenuos. Hay mares de textos que, con distintos matices, comparten esta idea. Para resumir, el argumento fuerte estipula: es imposible que un símbolo tenga una relación de identidad con un elemento no simbólico porque la relación entre lo material y lo simbólico es construida por el ser humano. Creer que el lenguaje puede describir la realidad de manera plena implica que el lenguaje es de por sí perfecto y acabado, estático —además de las consecuencias filosóficas acerca de la realidad que tiene dicha implicación.
 
La posibilidad de que el lenguaje tuviera una relación de correspondencia con la realidad fue tomada como hipótesis de partida por una gran cantidad de filósofos lógicos (muchos de los cuales eran matemáticos) quienes trataron de establecer un conjunto de proposiciones basadas en la lógica simbólica que pudieran describir y dar cuenta de las relaciones de verdad de cualquier enunciado en una lengua natural. Desde los estudios de teoría de conjuntos y lenguaje del famoso Gottlob Frege, que serían retomados y discutidos por el fundador de la teoría moderna de conjuntos Bertrand Russell, así como por todos los discípulos y estudiosos que siguieron tales ideas a lo largo del siglo xx: Ajdukiewicz, Lewis, Whitehead y el prominente Quine. Si bien esta línea parece estar llegando al punto en el cual se reconoce ya que no puede haber una relación directa entre el lenguaje y la lógica formal debido al carácter eminentemente contextual del significado, desde un punto de vista teórico y reflexivo resulta muy productivo revisar los textos de dichos pensadores, quienes se han cuestionado sobre los conceptos mismos de significado, sinonimia, realidad y verdad.
 
Aclarado esto, tampoco vamos a ser testarudos y no reconocer que la gente se comunica, que el lenguaje funciona generalmente muy bien y que es la base sobre la cual se construye la sociedad misma. El ya citado Benveniste explica que para los usuarios no lingüistas hay un fenómeno de correspondencia entre la lengua y el mundo, parece que ésta describe a aquél con suma eficiencia. Claro está, el lenguaje funciona bien porque hay un acuerdo para que funcione, y esto no implica que el lenguaje pueda tener una identidad con la realidad. No obstante, podríase decir que la realidad misma está modelada por medio del lenguaje y que por ende no es erróneo igualar ambos elementos. Pero esto es otro error metodológico grave: no se puede describir algo a partir de sí mismo, porque si algo es igual a sí mismo, entonces no es diferente. La realidad existió, existe y existirá más allá de que el ser humano y su lenguaje la describa de tal o cual manera. El lenguaje que se emplee para describir la realidad, indudablemente le dará forma, pero nunca abarcará su totalidad; es una imposibilidad ontológica.
 
Todo esto viene a cuento de que la característica principal de las matemáticas y su particularidad es que —de los sistemas de símbolos conocidos— es el único cuyos elementos tienen una referencia absoluta con sí mismos. Los números, ángulos, senos, cosenos, tangentes, las operaciones del álgebra y demás, sólo adquieren sentido cuando se las referencia entre sí. Uno no puede ir al mundo exterior y encontrarse con un número dos ni con una multiplicación como concepto. Ante la idea intuitiva de que uno puede observar ángulos o contar objetos, la contraargumentación es que se cae en un error de referencias, consecuencia de lo internalizada que están las matemáticas como constitutivas de la cosmovisión.
 
La construcción del mundo
 
Lo primero que hay que aclarar y hacer notar es que las matemáticas son como cualquier otro lenguaje: un conjunto de símbolos. Sí, es mucho más universal que el español, el inglés, el francés... las matemáticas que empleamos nosotros y la mayor parte del mundo trasciende por mucho los usos lingüísticos en cantidad. Pero vamos a lo importante: si las matemáticas son un lenguaje, de alguna manera determinan la manera en que se piensa y se construye la realidad. Muchos estudios muestran la relación lenguaje-pensamiento-realidad y sus determinaciones mutuas, sin embargo, no se debe creer que este último enunciado es incompatible con lo planteado antes: un lenguaje limita la interpretación y la lectura de la realidad que un sujeto puede efectuar por las propiedades mismas del sistema-lengua, pero eso refuerza la noción de que el lenguaje no describe la realidad de manera lineal, identitaria, sino completamente parcial.
 
Normalmente se olvida que las matemáticas también son un lenguaje y como tal funcionan de la misma manera, dando forma a las interpretaciones que realizamos del mundo. Muchas veces los estudiosos de las ciencias exactas quedan fascinados al observar cómo las matemáticas parecen tener el signo mágico de la proporción y descripción del Universo. Parece que las matemáticas pudiesen describir todo y que siempre tienen una operación a la mano para describir los fenómenos de las ciencias naturales.
 
Lo que se debe entender es que las matemáticas van a ser siempre suficientes para describir la realidad porque no están describiendo la realidad, lo que hacen es describir, mediante su sistema, los discursos que las ciencias naturales tienen sobre aquello que es la realidad. Ahora, a su vez, las ciencias naturales han construido tales discursos con supuestos matemáticos, razón por la cual las matemáticas siempre tendrán la capacidad, como un sistema axiomático, de describir lo que sea porque ellas mismas construyeron aquello que van a describir. Si no procedieran así, las matemáticas no tendrían una historia ancestral, plena de numerosos casos de refutaciones, postulados nuevos, correcciones, ni cambiarían a medida que cambia el resto de las ciencias.
 
No es que en la unión del suelo y la pared haya un ángulo de noventa grados, es que las matemáticas eligen describir esa intersección como “ángulo de noventa grados”; es algo que tenemos tan internalizado, que terminamos confundiendo el lenguaje matemático con la realidad.
 
Cabe aclarar que esto de ninguna manera es una crítica a las matemáticas como sistema; las consideramos un sistema increíble y seguramente uno de los inventos más importantes en toda la historia de la humanidad, esto es, existen después del mundo y no antes. Si fuera que las matemáticas pueden ser “descubiertas” eso significaría que ya están escritas de antemano. Aquí entra el aspecto pedagógico de las matemáticas. Se nos enseña desde niños a pensar en términos de matemáticas incluso antes de aprenderlas de manera formal. La mayoría de nosotros pasa la vida y usa matemáticas sin realizar reflexiones sobre su carácter de sistema axiomático y por eso se habla de ellas como algo asumido y universal. Es más difícil de verlo en ellas que en un lenguaje, puesto que no hay tres o cuatro o cinco o cientos de matemáticas como sí hay lenguajes diversos.
 
Un experimento
 
A partir de tales consideraciones, decidimos poner a prueba la hipótesis de que las matemáticas modelan la manera de pensar en la misma manera como lo hace el lenguaje, al punto de que los sujetos no son conscientes de la diferencia entre lo que se describe y el sistema que se utiliza para ello.
 
Con este fin se realizó un experimento con una muestra de setenta alumnos de la Universidad Nacional de Mar del Plata, Argentina, jóvenes de dieciocho a veinticinco años cursando su primer o segundo año de una carrera universitaria de al menos cuatro años de duración. Se buscó intencionalmente la misma cantidad de hombres y mujeres y se les agrupó en dos: el grupo uno (G1) con 35 estudiantes de la Facultad de Ciencias Exactas, y el grupo 2 (G2), con 35 estudiantes de la Facultad de Humanidades. El objetivo de separar estudiantes de humanidades y de ciencias exactas resulta de que se tenía la hipótesis de que el contacto y la predisposición al estudio de carreras cuya base son las matemáticas darían un mayor de grado de conciencia sobre el carácter de lenguaje de las matemáticas como elemento separado e independiente de aquello que describen, es decir, que habría un menor grado de asimilación de este precepto en los alumnos de humanidades.
 
Se suministró una planilla a cada sujeto para que la llenase, sin límites de tiempo, poniendo énfasis en que no se hiciera un análisis excesivo de las preguntas. La planilla contenía dos preguntas a las cuales había que responder simplemente con un “sí” o un “no”, a saber: Pregunta 1 (P1): “¿Existen los números en el mundo real?”; y Pregunta 2 (P2): “¿El enunciado hay tres macetas es siempre verdadero si hay una maceta al lado de otra maceta y otra al lado de ésta última?”.
 
El propósito era poner en juego la variable “conciencia de la diferencia entre la realidad y el instrumento de descripción de la misma” en dos grados de dificultad: la primera pregunta corresponde a un grado de acceso fácil, la segunda a uno difícil, pero con un grado de complejidad aumentado; es la pregunta crucial. Lo “correcto” sería responder a ella que no, de otra manera implicaría que el número tres existe en la realidad en forma independiente, que es lo que se plantea en la pregunta uno.
 
Para fines estadísticos se redujo la dicotomía “sí” o “no” a los datos numéricos 1 y 0, es decir, que en la medida en que el resultado tiende a 0 significa “no” y a medida que tiende a 1 significa “sí”. Para todos los casos se realizó el cálculo de la media, que permite identificar en qué lugar del espectro entre 0 y 1 se encuentra la concepción en torno a las matemáticas y la realidad, tanto en la totalidad de la muestra, como en cada grupo por separado, y para cada pregunta en cada grupo y cada pregunta en ambos grupos. Además, como método de validación de la prueba deberá suceder que la media en la segunda pregunta para todos los casos siempre sea igual o mayor a la media de la primera pregunta, puesto que es una pregunta de mayor complejidad. Dado que el carácter de esta investigación es mayormente descriptivo y se realiza con un grado de inferencia mínimo, no se recurrirá a pruebas más elaboradas.
 
Se citó a los voluntarios en un aula vacía y apartada y se les pidió que llenaran la planilla con sus datos a fin de comprobar que no había errores en la preselección (edad, sexo, facultad, carrera, año que cursa) y luego respondieran las preguntas. Los evaluadores no contestaron preguntas más allá de las aclaratorias para no incidir en el resultado de la prueba. El tiempo estimado para cada sujeto nunca fue mayor a minutos, no obstante que no hubo límite de tiempo para que los sujetos respondieran.
 
Los resultados fueron los siguientes: mientras el valor se aproxima más a 0 se corresponde con una mayor conciencia epistemológica, es decir que diferencía entre la realidad per se y las descripciones matemáticas, en tanto un valor que se aproxima a 1 indica una menor conciencia y mayor mezcla entre ambas.
 
Lo primero que se observa en el cuadro 1 es que en la media total de la muestra no parece haber una tendencia definida, más allá de que la moda sea 1 e indique que ha habido una mayor cantidad de respuestas “sí” la diferencia es despreciable. No obstante, al observar las medias de los grupos por separado observamos una mayor tendencia de los alumnos de ciencias exactas a establecer una diferencia entre la realidad y su descripción matemática; mientras que en los alumnos de humanidades la tendencia parece ser hacia la no distinción, con un valor de 0.62. Esta diferencia creemos que puede ser explicada por el trato más cercano y profundo que tienen los alumnos de ciencias exactas con las matemáticas (el experimento se hizo al final del curso, cuando los alumnos de exactas ya habían cursado Algebra I y Análisis I).
 
 Tabla1124A06
Cuadro 1. G1: 35 estudiantes de la Facultad de Ciencias Exactas; G2: 35 estudiantes de la Facultad de Humanidades.

Un análisis pormenorizado nos muestra cómo en el grupo de los alumnos de ciencias exactas hay un claro conocimiento del carácter abstracto y autorreferencial de las matemáticas —obtuvieron un puntaje de 0.17 en la pregunta uno (cuadro 2). Esto contrasta de manera muy notoria con el grupo de humanidades que obtuvo 0.48. Hay que mencionar que esta diferencia se ve algo disminuida en lo que respecta a la segunda pregunta, donde tanto el grupo de exactas como el de humanidades registraron valores más altos. Sumado al dato que proviene de la media total con un valor de 0.51, esto nos permite concluir que el estudio de las matemáticas conlleva una mayor conciencia sobre el funcionamiento de las mismas en un nivel no sólo operacional sino también de índole filosófico.
 
Tabla2124A06 
Cuadro 2. P1: Pregunta 1; P2: Pregunta 2;
G1: 35 estudiantes de la Facultad de Ciencias Exactas; G2: 35 estudiantes de la Facultad de Humanidades.

Por último, si observamos la comparación entre las medias obtenidas en las preguntas por separado en el total de la muestra, resulta que la relación es curiosamente del doble, lo cual pone de manifiesto que se han empleado apropiadamente los dos niveles de dificultad para el reconocimiento del carácter de descriptor de la realidad que poseen las matemáticas (cuadro 3).
 
 Tabla3124A06
 Cuadro 3. P1: Pregunta 1; P2: Pregunta 2.

Hay que reflexionar también en torno al hecho de que la pregunta sencilla es de un alcance general, por lo que una baja media en ella sólo estaría indicando lo obvio: que hay un mínimo grado de conciencia sobre la distinción entre la realidad y las matemáticas como descriptoras. No obstante, apenas se enmascara lo obvio en una pregunta con un grado de complejidad mayor pero que está midiendo lo mismo, ese mínimo grado no basta para distinguir entre la realidad formal que proponen las matemáticas y las propiedades intrínsecas del mundo que son descritas por el lenguaje natural.
 
El hecho de que los estudiantes no específicos de las exactas hayan tendido a realizar una homologación entre la realidad y los elementos de las matemáticas que la describen lleva a creer que hay un grado de confusión generalizado en dicha homologación (aunque para la confirmación de dicha sospecha se deberá trabajar sobre muestras más amplias, que serán objeto de análisis en futuros trabajos).
 
Conclusiones
 
Ya sea mediante una reflexión filosófica de las matemáticas a temprana edad en la primaria o tomándola como lenguaje a la hora de estudiarlas en la secundaria e incluso desde la casa y hablando con las personas que uno trata, tenemos la intención de promover la concientización sobre el carácter (en algunos aspectos) lingüístico de las matemáticas con el fin de mostrar lo mismo que se puede evidenciar en una lengua materna: que la manera en la cual nos referimos al mundo no es más que un acuerdo, útil y necesario, pero de ninguna manera suficiente para describir grados de verdad del mismo.
 
     
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Martín Gonzalo Zapico
Universidad Nacional Mar del Plata, Argentina.

Martín Gonzalo Zapico es profesor y licenciado en letras por la Universidad Nacional de Mar del Plata. Actualmente es docente-investigador del IFDC en la materia Lengua y Literatura y su Didáctica, área en la que está realizando su doctorado. Ha escrito un libro sobre la problemática del significado, asimismo ha publicado capítulos de libros y artículos en revistas con referato en las áreas de lingüística, filosofía y educación.

Marcos Gabriel Zapico
Universidad Nacional Mar del Plata, Argentina.


Marcos Zapico es estudiante avanzado de la carrera de bioquímica en la Universidad Mar del Plata.
     

     
 
cómo citar este artículo
 
Gonzalo Zapico, Martín y Marcos Gabriel Zapico. 2017. Reflexiones sobre las matemáticas y su condición de lenguaje: un enfoque experimental. Ciencias, núm. 124, abril-junio, pp. 60-67. [En línea].
     

 

 

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