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César Guevara Bravo
     
               
               
Cuando pensamos en la obra de Leonardo da Vinci
es casi inevitable visualizarla a través de La última cena, La Gioconda o La anunciación. Si observamos sus pinturas al lado de otras realizadas por algunos de sus contemporáneos, puede suceder que el factor de emoción disminuya, es decir, contemplar las obras de Leonardo junto con las de Rafael, Miguel Ángel, Bramante, Botticelli o con las de algunos de sus discípulos como Bernardino Luini, Giovanni Antonio Boltraffio o Marco d’Oggiono, la sensación que nos generan puede ser semejante. Si se ocultara la autoría de los artistas la emoción de tener las obras frente a nosotros no sería muy diferente independientemente de quien las hubiera realizado. Todos ellos son grandes artistas del Renacimiento, pero Leonardo, por diversos eventos circunstanciales ocurridos desde inicios del siglo xx y hasta el presente, ha logrado generar tales expectativas e ilusión por ver sus obras, que cuando llega el momento de observarlas —ya sea en vivo o por otro medio— se tiene una percepción predeterminada de que son superiores a cualquier otra obra que se pudiera conocer.
 
Incluso podríamos decir que fue menos productivo que otros artistas pues, aparentemente, dejó muy pocas obras concluidas (aproximadamente se conocen quince y algunas pudieron ser parcialmente hechas por él), sin embargo, esto no sería una evaluación justa, ya que estaríamos haciendo una comparación con sus obras terminadas, y éstas, además de ser pocas sólo se encuentran en el ámbito de la pintura. Se tiene que considerar todo el trabajo gráfico que dejó en sus manuscritos; cuando nos acercamos a la obra gráfica que encontramos en los manuscritos, entonces sí podemos decir que dejó una cuantiosa obra terminada. La grandeza de Leonardo debemos medirla también por sus obras al fresco, las de caballete, pero principalmente las que están en sus notas o cuadernos conocidos como códices. Muchos de los dibujos de éstos son más que bocetos, son verdaderas obras de arte de la gráfica y a la vez son las ilustraciones que acompañan grandes aportaciones a la ciencia y la ingeniería.
 
En el Códice Madrid, por ejemplo, en el folio f45r se puede apreciar un acumulador elástico (página opuesta); observamos una mente de gran creatividad e innovación, en la ingeniería, el diseño industrial, en la creación de instrumentos innovadores. Cientos de sus dibujos se pueden consultar en aproximadamente quince códices conocidos; en ellos vemos representaciones con elementos plásticos que sólo un gran artista y observador de su entorno podría realizar. En el ejemplo del Códice Madrid se percibe un gran manejo de la luz, la profundidad, textura de la superficie y las proporciones realistas. Sus estudios sobre la óptica se manifiestan en el sombreado; su conocimiento sobre la perspectiva le permite representar magistralmente objetos tridimensionales en superficies bidimensionales.
 
Es una experiencia única transitar por la gráfica de Leonardo, allí es donde posiblemente se le puede conocer en verdad, al margen de las biografías de siglos pasados —la de Vasari entre las primeras. Se podría reconstruir su vida a través de esa faceta, en ella se pueden conocer sus lealtades, sentimientos, pasiones, obsesiones y principalmente sus procesos mentales, sus incursiones en ingeniería, anatomía, geometría, música, agricultura, astronomía, mecánica, su observación de la naturaleza y mucho más. Al verdadero hombre del Renacimiento —que así se le reconoce— no lo encontramos en la obra plástica, allí sólo se descubre al gran artista plástico. A Leonardo sin duda le agradaba más que lo identificaran como ingeniero, inventor y científico. Esto es evidente en una carta en que solicita trabajo al duque de Milán. En cada uno de los diez párrafos le expone su vasto conocimiento sobre casi cualquier clase de requerimientos militares, tanto armas como arquitectura, diseño de caminos, minas, estrategias en tierra y agua, etcétera. Casi al final, en dos líneas le menciona que también puede esculpir en mármol, bronce y yeso y que además puede pintar cualquier cosa tan bien como lo haga el mejor (para más detalles acerca de la carta se puede consultar la biografía de Walter Isaacson). En contraste, actualmente se le admira más por una pintura que se encuentra en el Louvre que por las más de siete mil páginas que se conocen de sus notas. Seguramente él no estaría satisfecho con esto.
 
Su versatilidad fue reconocida por diversos personajes de su entorno —de manera directa e indirecta—, esto es de finales del siglo xv y primeras décadas del xvi. Reyes, duques y discípulos lo solicitaban para diseñar escenografías y hacer grandes esculturas, hasta crear máquinas para la guerra o explicar el funcionamiento del cuerpo humano. Toda la riqueza de sus ideas, que impresionó a muchos, es lo que escribía en sus cuadernos en las mismas épocas que compartía su vida con ellos.
 
Un personaje importante en su entorno fue Luca Pacioli, con quien Leonardo compartió muchas experiencias, algunas de las cuales son mencionadas en la obra de Luca De viribus quantitatis (Sobre el poder de los números); éstas podrían parecer circunstanciales y carentes de fondo, pero después de hacer una revisión del periodo en que se gestó De viribus, se encuentra una compatibilidad con las etapas en las que Leonardo escribía determinados pasajes de los códices. Es probable que Luca y Leonardo intercambiaran puntos de vista en estos temas, por lo tanto las menciones de Luca ya no son tan secundarias y pasan a ser primarias pues posiblemente se generaron a partir de intercambios directos. También a la inversa, pudo suceder que a partir de tales intercambios, principalmente los de carácter geométrico, Leonardo hubiera escrito ciertos elementos de sus reflexiones que se encuentran en los códices.
 
Luca Pacioli
 
Nacido en Borgo Sansepolcro, Venecia en 1445, en la toscana italiana, asistió a las lecciones de Doménico Bragadino en Venecia, con quien incrementó notablemente sus conocimientos matemáticos. En 1472 ingresó en la Orden Menor de San Francisco, tuvo amistad con Piero Della Francesca, quien lo introdujo en la corte de Urbino, donde se le exteriorizaron sus intereses por el estudio de las ciencias. En 1480 comienza a enseñar matemáticas en varias universidades y posteriormente regresa a Perugia. En 1494 termina de preparar Summa de Arithmetica, Geometria, Proportione et Proportionalità, que fue un referente de las matemáticas en esa época y en los años subsecuentes.
 
En 1496 se trasladó a Milán para enseñar matemáticas invitado por el duque Ludovico Sforza. En la corte se encontró con que se hallaba entonces al servicio del duque, para quien realizaba su famosa estatua ecuestre. Allí nació esta gran amistad, que se materializó en una colaboración, de la cual se vería años después el resultado que hasta la fecha es un referente de la matemática renacentista: La divina proporción, obra en la que Leonardo se involucró al punto de que Luca le pide que la ilustre con los famosos poliedros, que fue impresa en Venecia en 1509. En los últimos meses del siglo xiv el duque cae y ambos tienen que abandonar Milán, trasladándose a Florencia.
 
Desde que se estableció en Milán en 1496, Pacioli inició la redacción de una serie de problemas —los que forman De viribus— clasificados en matemáticos, acertijos, construcciones, divertimentos, entre otros tópicos. Algunos de los problemas correspondientes a la óptica o la mecánica llegaron a ser verdaderos acertijos visuales, razón por la que incluso se catalogará como la “base de la magia moderna y de los acertijos numéricos”; en opinión de Bill Kalush, fundador del Conjuring Arts Research Center de Nueva York, se trata del “primer gran manual que se refiere principalmente a la enseñanza de cómo hacer magia”.
 
Pacioli no vio publicado el libro, que tampoco se logró editar en los siguientes siglos y puede que sólo lo conocieran algunos eruditos del siglo xiv. Fue hasta el siglo xx cuando el matemático estadounidense David Singmaster encontró una referencia a la obra en un manuscrito del siglo xix que lo condujo hasta los archivos de la Universidad de Bolonia, donde encontró una copia manuscrita de la misma.
 
De viribus es el trabajo de un matemático y educador, pero es muy diferente a otros libros de texto escritos en su época debido a que está dedicado a las recreaciones. Éstas se pueden encontrar anteriormente en correspondencia, literatura o libros de texto, en su mayoría de manera individual o como suplementos. Un ejemplo de ello es el libro de Alberti Juegos matemáticos, en él se nota una diferencia muy explícita ya que no pretende sorprender con problemas de carácter “mágico”, mientras que el de Luca sí está encuadrado con elementos de motivación, divulgación, comunicación y educación de la ciencia. El libro de Luca es ciertamente un proyecto que ahora podríamos identificar dentro de la “ciencia popular”. Es probable que algunas secciones del libro se hayan utilizado en las clases o en la educación general, mientras que el de Alberti no fue concebido por él desde la visión de un profesor, aunque seguramente fue usado en las escuelas de ábaco.
 
De viribus quantitatis está distribuido en tres secciones: 1) “De la intervención de los números”, son 81 problemas catalogados como juegos matemáticos, la recopilación más grande de este tipo de problemas registrada hasta ese año. Como Pacioli fue profesor, probablemente ésta fue parte de su estrategia para estimular el interés de los estudiantes por las matemáticas; 2) “La geometría de las líneas”, una seria de acertijos geométricos y juegos con monedas y cartas; y 3) “Preceptos morales”, una compilación de proverbios, versos y acertijos.
 
Ya señalamos que en el libro se encuentran varias alusiones a Leonardo y muchos de los problemas que contiene De viribus han sido encontrados también en sus cuadernos, donde aparecen menciones directas a Luca. No obstante, generalmente se tienen que buscar las analogías entre los dos autores y sus obras respectivas. Su análisis se puede extender si se consultan las obras de ambos.
 
El puente
 
El primer problema que mencionaremos se enmarca en el contexto del año 1502 cuando Leonardo se incorporó a las actividades militares con César Borgia. El primer encargo del duque fue la revisión del diseño de las fortificaciones —posteriormente viajó con él y vivió a su lado la actividad de unos ataques. En un salvoconducto que éste le extiende a Leonardo lo describe más como un ingeniero militar que como un pintor, lo cual agradaba a Leonardo.
 
En el capítulo 84 de su obra, Pacioli da una descripción de dicha relación: “Caesaro Valentino [así le llamaba Leonardo a César Borgia] Duque de Romagna […] tenía que cruzar un río de 24 pasos de longitud que no tenía puente y sólo se contaba con un cúmulo de troncos extraídos del bosque y todos con una longitud de 16 pasos [...] su ingeniero pudo construir un puente sin usar metales ni cuerdas y fue lo suficientemente fuerte para poder cruzar el río”. Esto es acompañado de un dibujo en el margen, en donde se dice que parte de los troncos sirven como peso en el margen del río y están colocados paralelos a la corriente. En la imagen procedente de De viribus (figura 2), las líneas mn, op y qr son los troncos que se colocan sobre los otros troncos ef, gh y kl, y cubren una cuarta parte de su extensión en tierra; otras se extienden hacia el río y se encuentran con otros troncos, como lo describe Pacioli. Pareciera que la descripción es incompleta, pero con la figura 3 nos podemos imaginar cuál era la idea.
 
En este problema se aborda el planteamiento de Leonardo de un puente “autoportante”, y aunque no presenta una figura del puente terminado, la descripción se asemeja a lo que Leonardo posiblemente le narró a Luca, y se encuentra en el Códice Atlántico, volumen 1. páginas 69r y 71v (página opuesta figura de la derecha). Se puede encontrar por lo menos seis diseños de puentes de Leonardo, tres en el Códice Atlántico: autoportante (f. 69ar y 71v), giratorio (f. 855r) (aquí arriba) y de canal (folio 126v); dos en el Manuscrito B de París: de dos plantas (f. 23r) y giratorio de barcas (f. 23r); y uno en el Manuscrito L de París: el del cuerno de oro (f. 66 r). Cabe señalar que Pacioli no menciona directamente en este problema a Leonardo pero, por la manera como narra los hechos y la forma de mencionar a César Borgia, seguramente se refería a él.
 
El entorno de la física
 
Para poder entender una parte del marco de la física que le correspondió asimilar a Leonardo es conveniente analizar de qué manera Luca entendió algunas teorías de la física, esencialmente aristotélica, impregnada con resonancias de la escuela parisina del siglo xiv, en particular la de Nicolo Oresme (13231382) y la de Alberto de Sajonia (13251390). Pacioli tuvo educación universitaria en Venecia, en la Escuela Rialto, y siguió las lecciones de matemáticas de Domenico Bragadino, aprendió latín y las disciplinas liberales. Esto explica su cercanía con los problemas de las matemáticas aplicadas, los oficios, las artes y, sin lugar a duda, los problemas de la física. La diversidad de disciplinas que se presentan en De viribus se manifiesta en el uso de los términos “práctico” y “curioso” —el segundo término indica algunos experimentos hechos con material elemental y hasta casero que exhibe en la obra.
 
En los capítulos 88 a 90, Luca Pacioli se presenta como un aristotélico empírico, un perfil que ilustra los cambios que tenían lugar en ese entonces, al igual que lo muestran los temas tratados. Uno de ellos es el problema de calcular la velocidad de un barco cuando las condiciones son que el observador se encuentre dentro del barco en movimiento, seguido de aquél donde el observador está en tierra lejos del barco. En ambos casos se plantea la necesidad de tener instrumentos elementales para poder recoger datos sobre el movimiento pero, además, en ambas situaciones se requiere contar con un artilugio que permita medir el tiempo, lo cual se aborda en el capítulo 90. Allí, Pacioli expone la manera de construir un reloj náutico que sería de utilidad para realizar las medidas correspondientes en los dos casos, describiendo una clepsidra de vidrio que usa mercurio en lugar de agua, ya que ésta se degrada y corrompe por el tiempo, con el frío se congela y puede dañar el vidrio —cabe señalar que comenta que el mercurio no forma pirámide como la arena cuando se acumula en el fondo del recipiente— y prosigue enlistando cuáles son los materiales que más conviene usar.
 
Luca brinda elementos para pensar que esta exposición se apoya en el ingenio de Leonardo. Es interesante descubrir que estaba enterado de las incursiones de Leonardo en los relojes, y no sería extraño que este último hubiera comentado sus diseños con él y recibiera asesoría sobre los elementos de la geometría y la mecánica que se requerían para bosquejarlos. Pero también existe la posibilidad de la parte complementaria, que Luca hubiera proporcionado a Leonardo ideas sobre relojes para que él las desarrollara, o bien podría ser una colaboración de dos sentidos.
 
Leonardo trabajó en cierto periodo sobre la perspectiva y a la vez estudiaba y construía máquinas con base en los principios básicos de la instrumentación mecánica, lo que identificaba como “elementos de las máquinas”. En ese momento Pacioli interactuaba con él, de gran perseverancia para el diseño de relojes. La mecánica de éstos implicaba el uso de muelles pues se sabía que los resortes pierden fuerza y movimiento a medida que se desenrollan. El primer esfuerzo de Leonardo para hacer un reloj se encuentra en el Códice francés B, folio 50v (figura 6), ahí se muestra una serie de muelles con disminución en la velocidad de movimiento, que es compensada por hilos que llevan a una serie de conos invertidos colocados de forma que cada uno de los tornillos se encuentra en el de arriba y continúa el movimiento hasta que los cuatro resortes se desenrollan. Pacioli menciona en el mismo capítulo que se trata de una aplicación del principio de la palanca formulado por Arquímedes; en este caso la pérdida de fuerza que experimenta el muelle al destensarse es compensada por la mayor longitud del brazo de cadena.
 
Este tipo de mecanismo fue concebido anteriormente por Leonardo al margen de los relojes; se puede encontrar en otras de sus máquinas, como un mecanismo de muelle de caracol para tratar de mantener constante el movimiento de los engranes (figura 7). Una de las ilustraciones más explícitas de Leonardo de las fuerzas de distribución cónicas se puede ver en el Códice Madrid I 85 r (página opuesta, parte interior). Es un mecanismo usado para equilibrar la fuerza que se transmite por el giro generado por el muelle, un cono truncado que tiene un canal que recorre las vueltas para alojar una cuerda que se engancha al barrilete en uno de sus extremos y al cono en el otro. Al dar cuerda al reloj, la cadena se enrolla en el cono como se ve en la figura, a la vez que el muelle se va tensando. La fuerza contenida por el muelle que se encuentra dentro del barrilete se transmite al rodaje regulado por el brazo de la cadena. En la medida que se va destensando el muelle, su fuerza disminuye, pero la tracción de la cuerda aumenta y, en consecuencia, la fuerza para los giros se mantiene, es decir, la pérdida de fuerza que sufre el muelle al ir destensándose es compensada por la mayor longitud del giro de la cadena. Se trata de una brillante aplicación del principio de la palanca de Arquímedes, y este mecanismo se puede ver de manera más acabada en la enciclopedia de Diderot y D’Alembert (abajo).
 
En cuanto al reloj que Luca menciona para medir el movimiento de los barcos, ya existían antecedentes en el diseño que Leonardo hizo para su despertador, un reloj alarma en forma de clépsidra que al final activa una alarma. Con base en sus diagramas, se sabe que el dispositivo recolectaba una cantidad determinada de agua en un depósito en intervalos breves; una vez que el contenedor se llena, se derrama en otro depósito y cuando está lleno activa unas palancas que generan un movimiento para suspender el sueño.
 
El intercambio mutuo de ideas es mencionado al final del capítulo, en donde Luca parece querer mostrar que él también le aportó ideas a Leonardo en el tema de los relojes: nel ciu ingegno asei me confido, Leonardo, perché, comme so intendi, tutto non si po’ in breve dire (“en mi mente confío, Leonardo, porque, como entiendes, no todo es breve para decir”). Este pasaje da la impresión que Luca le deja a Leonardo la posibilidad de seguir trabajando en estos temas a partir de lo señalado por él en dicho capítulo de su obra. Lori Pieper, que ha trabajado sobre De viribus, es partidario de que Pacioli también le proporcionó a Leonardo posibilidades para desarrollar máquinas de relojería. Sin duda, este último consideraba las opiniones del primero y por eso no es raro encontrar en sus cuadernos anotaciones acerca de tales recomendaciones.
 
Las líneas de la visión
 
Pacioli enuncia un problema en el capítulo 116: cómo visualizar una moneda que se encuentra aparentemente oculta en un cuenco, cuya finalidad es poder experimentar con las propiedades de la refracción a través de un líquido. Elogia el poder de la línea para la visualización y la representación y, después de una breve relatoría sobre las ilusiones ópticas y de panegirizar tanto a Ludovico Sforza como a procede a describir el efecto de la refracción. Si una moneda se coloca dentro de un cuenco vacío frente a un observador de tal manera que no pueda verla, ¿sería posible hacerla visible sin que el observador ni el cuenco se muevan? Pacioli muestra que sí, llenando el cuenco con agua (figura 10), lo cual muestra que éste incursionaba ya en la geometría de las leyes de la visión. No obstante, si bien era un geómetra reconocido, no lo era en la geometría de la visión ni en la física de la trasmisión de la luz a través de los medios líquidos; conocía muy bien parte de la obra Euclidiana pero no hay datos firmes para saber si se adentró en las teorías de la visión y en la física de la luz, ni se tiene la certeza de que hubiera leído la Óptica o la Catóptrica de Euclides.
 
Es posible, por lo tanto, que los conocimientos de Luca en estos tópicos estuvieran sustentados en los intercambios con Leonardo desde su encuentro en Milán. Sabemos que estructuró el De veribus quantitatis entre 1496 y 1508, y que Leonardo escribió el Códice Atlántico entre 1478 y 1518, el Madrid I de 1493 a 1499, y el Madrid II de 1493 a 1505, los cuales contienen importantes reflexiones sobre las teorías de la visión y la refracción y, además, que cuando conoció a Luca parte de éstos ya estaban formulados, aunque terminó de escribir cuando ya tenía una fuerte convivencia con él. En este contexto, no sería difícil plantear que Leonardo recibió apoyo por parte de Luca para resolver sus dudas en el campo de la geometría a fin de desarrollar sus teorías de la visión y de la física de la luz. Por el otro lado, Luca posiblemente obtuvo de Leonardo sus reflexiones sobre óptica, pues en esos años escribía los códices. Tanto en De viribus como en los Códices Atlántico y Madrid es posible constatar tales intercambios de óptica y teoría de la visión.
 
Debido a la importancia que tuvieron los textos clásicos en el Renacimiento, es necesario acercarse a Vitruvio y conocer sus planteamientos sobre la ilusión óptica de la distancia. Fue por Ptolomeo y su trabajo sobre óptica que se empezó a entender el concepto de refracción pero, cabe señalar, seguramente ni Leonardo ni Luca lo leyeron directamente, lo más probable es que hayan leído la óptica de Alhazen, una obra conocida en su época que recopilaba los conceptos y resultados en ese campo. Euclides quiso probar geométricamente la relación entre el objeto y lo que el ojo percibe, suponiendo que los rayos visuales emanan del ojo y recorren líneas rectas que eventualmente se desviarán para cubrir el objeto contemplado. Uno de sus postulado enuncia que los objetos son vistos según lleguen a ellos los rayos visuales, es decir, que la luz no llegará a los objetos mediante trayectorias curvas o no rectas, y es éste el que permite entender cómo es posible mirar la moneda que se halla dentro del cuenco.
 
Se puede suponer entonces que una de las fuentes de Leonardo y Luca fue la Catóptrica de Euclides, un texto que se considera de menores alcances desde el punto de vista geométrico, que la Óptica pero sin duda el primer trabajo que se conoce sobre las propiedades de la luz cuando se refracta o se refleja. Allí, en la definición 6 se enuncia lo siguiente: “si se deposita algo en un vaso y se toma una distancia tal que ya no se vea, estando a la misma distancia, si se vierte agua se verá el objeto depositado”. Cabe mencionar que no es propiamente una definición, sino una clase de hipótesis o fenómeno observable; es además la única vez que se hace referencia a la refracción, en especial cuando se pasa de un medio con cierta densidad a otro de mayor como lo es el agua.
 
La refracción no fue abordada de manera notable en la ciencia griega, fue hasta Ptolomeo que tales temas fueron relevantes. Se tiene el registro de sus experimentos para discernir los elementos de la refracción en diferentes medios: aireagua, airevidrio, vidrioagua, a partir de los cuales éste plantea que: i) un objeto A sumergido en agua se ve en B más arriba de la posición en la que se encuentra; y ii) si el rayo visual y el objeto O se encuentran en la perpendicular, no hay refracción.
 
En estos temas seguramente Luca y Leonardo se complementaron, el primero con su gran manejo de la geometría y el segundo con su intuición sobre las teorías de la representación y de la visión. El capítulo 116 proporciona elementos para estudiar el entorno de la óptica de ambos.
 
La escalera
 
Pacioli describe en el capítulo 132 un juego de ilusión conocido como escalera de Jacob; explica cómo dicho dispositivo está construido a partir de dos placas de madera y tres correas que forman lo que parece una cartera (en México este juego es conocido con más de dos placas de madera y se le identifica como un juguete artesanal) y cómo se pueden entretener los niños con él —parece ser la primera referencia que describe este tipo de divertimento.
 
Al parecer, la influencia de Leonardo en este caso ocurre de manera indirecta, a través de la pintura de Bernardino Luini (14851532) titulada Puttino che mostra un suo trastullo (a la derecha), en donde se aprecia un niño con la escalera de Jacob en las manos. Las primeras obras de Luini se han vinculado con el arquitecto y pintor Donato Bramante, se le relaciona con Zenale y las corrientes de la perspectiva en Milán y después con las formas de Leonardo. Luini estuvo en Milán entre 1509 y aproximadamente 1515, coincidiendo con éste y quizá también posteriormente en Roma. De hecho, los historiadores del arte lo identifican con el círculo de Da Vinci, como opina Joseph Freedberg: “fue un pintor conservador que tomó de Leonardo tanto como sus raíces le permitieron comprender”. Más aún, Luini fue alumno de Giovanni Antonio Boltraffio, cuya formación se desarrolló en el taller de Leonardo y en donde permaneció hasta los últimos años del siglo xv.
 
Esto nos permite comprender por qué las obras de Luini son tan impresionantemente parecidas en técnica y sensibilidad a las de Leonardo, que incluso algunas de sus obras se le hayan atribuido a este último, como es el caso de la obra mencionada. No se tienen datos precisos para saber si la pintura del Puttino fue realizada o bosquejada cuando Luini se encontraba en contacto directo con Leonardo, pero lo que sí sabemos es que en el Códice Madrid (f. 110r) se encuentra una máquina con el mismo principio tecnológico de dicho juguete, un boceto de arquitectura escenográfica que proviene del pasado: el monumental teatro móvil de Curio, del cual muestra el mecanismo de apertura que permite tener diferentes escenarios (dibujos arriba y abajo), algo que ya se habían planteado desde Alberti hasta Palladio, frecuentemente encontrado en las descripciones de Plinio y Vitruvio.
 
Aun cuando en dicho capítulo de su libro Pacioli no menciona directamente a Leonardo, la relación de este artilugio con Luini, el teatro de Curio y las menciones de Vitrubio dan lugar a pensar que en algún momento Luca y Leonardo comentaron el tema y por esta razón Luca lo usa para sus divertimentos y decide incluirlo en De viribus.
 
Conclusión
 
La relación entre Leonardo y Luca surgió a partir de su encuentro en Milán, cuando ambos ya tenían definidos sus intereses; sin embargo, eso no impidió que pudieran converger en tareas conjuntas. Generalmente, la colaboración entre ambos se restringe a la intervención que tuvo Leonardo cuando ilustró con los poliedros La divina proporción de Luca. El análisis del contexto y sus obras es amplía y profundiza en los numerosos campos de interés en los que mantuvieron un importante intercambio. De viribus quantitatis es una obra crucial para comprender esto.
 
Fue una relación marcada por la reciprocidad: si bien Leonardo le aporta ideas sobre óptica y mecánica, en sus cuadernos se refleja que, a partir de su trato con Luca, sus construcciones con regla y compás y su cálculo geométrico se vuelven más tangibles. Sin duda, esta obra nos puede aportar todavía mucho para entender mejor cómo crecieron conjuntamente sus pasiones por explorar en las ciencias.
 
     
Referencias Bibliográficas
 
Alberti, Leon Battista. Juegos matemáticos y De lo escrito en forma cifrada. 1452, 1466. Estudios preliminares y traducción: Rafael Martínez y César Guevara. Colección Mathema. Universidad Nacional Autónoma de México, Ciudad de México, 2018.
     Da Vinci, Leonardo. 1493. Códice Madrid. Volúmenes I y II. Biblioteca Nacional de España, Madrid. Se puede consultar en su totalidad en el sitio web Leonardo interactivo de la BNE en:
http://leonardo.bne.es/index.html.
     Da Vinci, Leonardo. 1519. Códice Atlántico. Traducciones críticas de Augusto Marinoni. 23 volúmenes. Ediciones Folio S. A, 2007.
     Euclides. ~300 a. C. Óptica, Catóptrica y Fenómenos. Biblioteca clásica Gredos, volumen 277. Editorial Gredos, Madrid, 2000.
     Isaacson, Walter. 2017. Leonardo da Vinci. La biografía. Villafuerte, Penguin Random House.
     Pacioli, Luca. 1508. De viribus quantitatis. Prefacio de Augusto Marinoni. Ente Raccolta Vinciana, Milán, 1997.
El manuscrito original se puede consultar en:
http://www.uriland.it/matematica/DeViribus/Presentazione.html
     Vitruvio, Marco. 15 a. C. Los diez libros de arquitectura. Serie Fuentes de Arte. Ediciones Akal, Madrid, 2001.

     

     
César Guevara Bravo
Departamento de Matemáticas,
Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional Autónoma de México.

Es matemático y docente del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UNAM, desde hace más de veinte años. Sus áreas de interés son la historia de las matemáticas y la teoría de los números, y en ellas ha publicado trabajos de investigación y divulgación.
     

     
 
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