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Los retratos del mundo
 
Laura Elena Morales Guerrero
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Por ahí he oí­do de­cir que hay per­so­nas a quie­nes no in­te­re­san los ma­pas y me pa­re­ce di­fí­cil creer­lo. Es co­mo no in­te­re­sar­se en las obras de ar­te. Por­que eso son los ma­pas, ver­da­de­ras obras de ar­te, y no só­lo por la be­lle­za de su pre­sen­ta­ción si­no por lo que sig­ni­fi­ca re­pre­sen­tar so­bre pa­pel lo que es­tá di­bu­ja­do so­bre una es­fe­ra. Me re­fie­ro, por su­pues­to, al he­cho de que el mun­do en que vi­vi­mos no es pla­no, si­no re­don­do, pa­re­ci­do a una es­fe­ra, y trans­fe­rir al pa­pel la in­for­ma­ción de la su­per­fi­cie de esa es­fe­ra es un re­to ma­te­má­ti­co es­tu­pen­do. Sí, ha­cer bue­nos ma­pas re­quie­re so­bre to­do ma­te­má­ti­cas.
 
Vie­ne a mi me­mo­ria la épo­ca de oro de la car­to­gra­fía don­de se en­cuen­tran los ma­pas más her­mo­sos y ele­gan­tes que se ha­yan he­cho ja­más. En la era del des­cu­bri­mien­to del Nue­vo Mun­do, por ci­tar al­go, el rey Car­los V de Es­pa­ña or­de­nó pa­ra su hi­jo un ma­pa que mos­tra­ra las ru­tas que si­guie­ron los na­ve­gan­tes Fer­nan­do Ma­ga­lla­nes y Juan Se­bas­tián El­ca­no. El tra­ba­jo fue en­co­men­da­do a un car­tó­gra­fo ve­ne­cia­no de nom­bre Bat­tis­ta Ag­ne­se, quien re­ci­bió in­for­ma­ción de las ex­plo­ra­cio­nes que Her­nán Cor­tés hi­cie­ra du­ran­te la dé­ca­da de 1530 en la cos­ta oes­te de lo que hoy es Mé­xi­co. Los ma­pas de Ag­ne­se son de los me­jo­res del si­glo xvi por su pre­ci­sión y aten­ción a los de­ta­lles, son las car­tas de na­ve­ga­ción más fas­ci­nan­tes. El ma­pa que hi­zo en 1546 es el me­jor co­no­ci­do; mues­tra, de­li­nea­da en pla­ta pu­ra pu­li­da, la ru­ta que si­guie­ron Ma­ga­lla­nes y El­ca­no al­re­de­dor del mun­do y, en oro, las ru­tas a Pe­rú y Pa­na­má. Las ca­be­zas de los vien­tos que se ob­ser­van en el ma­pa son que­ru­bi­nes, que evo­lu­cio­na­ron en los clá­si­cos do­ce pun­tos de las brú­ju­las mo­der­nas. Des­de el pun­to de vis­ta ma­te­má­ti­co se di­ce que el ma­pa de Ag­ne­se se de­sa­rro­lló so­bre una pro­yec­ción ovoi­de en la que los po­los se re­pre­sen­tan co­mo la mi­tad de la lon­gi­tud del ecua­dor, su­gi­rien­do la pro­yec­ción mo­der­na de Ec­kert III.
 
Hay ma­pas pa­ra ca­da pro­pó­si­to. Y no obs­tan­te és­te, ca­da ma­pa es una he­rra­mien­ta, un pro­duc­to del es­fuer­zo y la crea­ti­vi­dad hu­ma­na. Ca­da ma­pa es una re­pre­sen­ta­ción, una apro­xi­ma­ción; ca­da uno dis­tor­sio­na la ver­dad, la rea­li­dad, con al­gún ti­po de có­di­go pa­ra for­mu­lar y ex­pre­sar su men­sa­je. Un in­gre­dien­te de es­te có­di­go es la trans­for­ma­ción ma­te­má­ti­ca de la in­for­ma­ción que se tie­ne del glo­bo a la su­per­fi­cie del ma­pa. Sin  em­bar­go, an­tes de po­der ha­cer ma­pas del mun­do es ne­ce­sa­rio de­ter­mi­nar el ta­ma­ño y la for­ma de la Tie­rra, es­ta­ble­cer la lo­ca­li­za­ción de los pun­tos so­bre ella y me­dir las for­mas y áreas de va­rias par­tes de su su­per­fi­cie. Es­tos es­tu­dios com­pren­den el ­tema de la geo­de­sia, un pa­rien­te cer­ca­no de la geo­me­tría.
 
Has­ta el mo­men­to en que se des­cu­bre el Nue­vo Mun­do los ma­pas se ha­cían co­mo los ela­bo­ra­ban los an­ti­guos des­de co­mien­zos de la era cris­tia­na, es­to es, co­mo nos en­se­ñó el grie­go Clau­dio To­lo­meo en el si­glo se­gun­do. Él di­jo que ha­bía dos for­mas de re­tra­tar el mun­do, una era re­pro­du­cir­lo so­bre una es­fe­ra y, la otra, plas­mar­lo so­bre un pla­no. Ca­da mé­to­do tie­ne sus ven­ta­jas y des­ven­ta­jas. Y mu­cho de la his­to­ria de la car­to­gra­fía se re­la­cio­na con la úl­ti­ma, con la for­ma de “apla­nar” el mun­do pa­ra ha­cer un ma­pa.
 
Los sue­ños de Hi­par­co y To­lo­meo fue­ron re­pre­sen­tar de ma­ne­ra cien­tí­fi­ca el mun­do so­bre una su­per­fi­cie pla­na; pa­ra es­to, an­tes es ne­ce­sa­rio res­pon­der a la pre­gun­ta fun­da­men­tal de la geo­de­sia, co­mo el mis­mo To­lo­meo lo su­gi­rió: ¿cuál es la for­ma y ta­ma­ño de la Tie­rra? La no­ción de que la for­ma de la Tie­rra es esen­cial­men­te es­fé­ri­ca da­ta de, al me­nos, la sex­ta cen­tu­ria a. C. Pi­tá­go­ras con­ci­bió el mun­do co­mo una es­fe­ra gi­ran­do al­re­de­dor de un fue­go cen­tral. Ac­tual­men­te, pa­ra de­fi­nir su for­ma, se usa el tér­mi­no geoi­de, que quie­re de­cir si­mi­lar a la Tie­rra. Su ta­ma­ño fue de­ter­mi­na­do con éxi­to, por pri­me­ra vez, por Era­tós­te­nes, en el si­glo iii a. C. Aun así, fue el tra­ba­jo de To­lo­meo el que lo­gró dar un vuel­co a la car­to­gra­fía, a tal pun­to que, ca­si mil cua­tro­cien­tos años des­pués de To­lo­meo, los ma­pas se­guían ha­cién­do­se en su es­ti­lo. La in­no­va­ción en las téc­ni­cas car­to­grá­fi­cas to­le­mai­cas sur­gió, pro­pia­men­te, de la ne­ce­si­dad de na­ve­gar con se­gu­ri­dad en el océa­no. Lo has­ta en­ton­ces co­no­ci­do no bas­ta­ba; ha­cía fal­ta un ma­pa que per­mi­tie­ra a un na­ve­gan­te lle­gar fe­liz­men­te a su des­ti­no. Tie­ne lu­gar en­ton­ces, al­re­de­dor de 1569, la se­gun­da re­vo­lu­ción en la car­to­gra­fía, prin­ci­pal­men­te por el tra­ba­jo del fla­men­co Ge­rar­do Mer­ca­tor y la fa­mo­sa pro­yec­ción que lle­va su nom­bre.
 
 
¿Qué es una pro­yec­ción?
 
 
Pro­yec­tar quie­re de­cir en­viar pun­tos y lí­neas que es­tán so­bre la su­per­fi­cie de una es­fe­ra a un pa­pel, de acuer­do con cier­ta téc­ni­ca. Las re­glas se­lec­cio­na­das pa­ra esa trans­fe­ren­cia tie­nen mu­cho que ver con la apa­rien­cia fi­nal y las pro­pie­da­des del ma­pa. A ­esta re­pre­sen­ta­ción sis­te­má­ti­ca de la su­per­fi­cie de la Tie­rra en otra su­per­fi­cie que no sea un glo­bo, los car­tó­gra­fos lla­man pro­yec­ción. Se usa una fuen­te de luz den­tro y fue­ra del glo­bo pa­ra en­ten­der las pro­yec­cio­nes, pe­ro en la prác­ti­ca es­to se ha­ce con téc­ni­cas ma­te­má­ti­cas. En sus li­bros, To­lo­meo nos di­ce que so­la­men­te un glo­bo pue­de re­pre­sen­tar exac­ta­men­te la for­ma, la orien­ta­ción y el área re­la­ti­va de la su­per­fi­cie de la Tie­rra, que al di­bu­jar­lo so­bre una su­per­fi­cie pla­na se de­be va­lo­rar la dis­tor­sión que re­sul­te, ya que cual­quier pro­yec­ción pro­du­ce dis­tor­sión con res­pec­to a al­gu­na de las ca­rac­te­rís­ti­cas de la Tie­rra. Más que nin­gu­no de los an­ti­guos, To­lo­meo es­ta­ble­ció la for­ma y los ele­men­tos de la car­to­gra­fía cien­tí­fi­ca; y el Sol dio a la car­to­gra­fía sus pri­me­ras tres lí­neas es­tán­dar de par­ti­ción: el ecua­dor, el tró­pi­co de cán­cer y el tró­pi­co de ca­pri­cor­nio. La Tie­rra gi­ra al­re­de­dor del Sol y so­bre su pro­pio eje, y los ex­tre­mos de ese eje, que pa­sa por su cen­tro, son los lla­ma­dos po­lo nor­te y po­lo sur. El cír­cu­lo ima­gi­na­rio que es­tá so­bre la su­per­fi­cie de la Tie­rra y a me­dio ca­mi­no en­tre los dos po­los se lla­ma ecua­dor; és­te di­vi­de a la Tie­rra en dos par­tes igua­les, el he­mis­fe­rio nor­te y el he­mis­fe­rio sur. A par­tir de és­te es po­si­ble de­ter­mi­nar qué tan le­jos es­tá un lu­gar en el nor­te o el sur por me­dio de la som­bra del Sol a me­dio­día; es el con­cep­to co­no­ci­do co­mo la­ti­tud. Hay mu­chos pun­tos so­bre la Tie­rra que es­tán a la mis­ma la­ti­tud; el con­jun­to de ellos for­ma una lí­nea, una cir­cun­fe­ren­cia ima­gi­na­ria, pa­ra­le­la a la del ecua­dor y co­no­ci­da co­mo pa­ra­le­la. La la­ti­tud se de­sig­na co­mo nor­te o sur, de­pen­dien­do del he­mis­fe­rio en el que se en­cuen­tre el pun­to y se mi­de en án­gu­los. Por ejem­plo, el pa­ra­le­lo de la­ti­tud 23°30’ N (vein­ti­trés gra­dos trein­ta mi­nu­tos Nor­te) se cono­ce co­mo Tró­pi­co de Cán­cer. Su equi­va­len­te al sur, es de­cir, 23°30’ S, es lla­ma­do Tró­pi­co de Ca­pri­cor­nio.
 
Al via­jar la Tie­rra a lo lar­go de su ór­bi­ta al­re­de­dor del Sol, gi­ran­do so­bre su pro­pio eje, la po­si­ción del Sol so­bre la Tie­rra cam­bia. El mo­men­to en que el Sol al­can­za su cé­nit es co­mún a mu­chos pun­tos so­bre la Tie­rra que se en­cuen­tran en un ar­co se­mi­cir­cu­lar, mis­mo que se ex­tien­de del po­lo nor­te al po­lo sur y se lla­ma me­ri­dia­no. El pun­to don­de dos me­ri­dia­nos se cru­zan en los po­los for­ma un án­gu­lo que es la ba­se pa­ra de­ter­mi­nar la lon­gi­tud. (fi­gu­ra 1). Jun­tas, la la­ti­tud y la lon­gi­tud pro­por­cio­nan un sis­te­ma com­ple­to de re­fe­ren­cia pa­ra lo­ca­li­zar cual­quier pun­to so­bre la Tie­rra.
 

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fi­gu­ra 1
Las pro­yec­cio­nes
 
 
Al pro­yec­tar so­bre una su­per­fi­cie pla­na son ne­ce­sa­rios cier­tos ajus­tes; To­lo­meo lo re­co­no­ce al de­cir “que se­ría de­sea­ble una pro­yec­ción que man­tu­vie­ra las pro­por­cio­nes es­fé­ri­cas al pa­sar al pla­no”. Pa­ra ha­cer­lo su­gie­re una pro­yec­ción don­de los me­ri­dia­nos se di­bu­ja­rían en el pa­pel co­mo lí­neas rec­tas, equi­dis­tan­tes en el ecua­dor, pe­ro con­ver­gien­do a un pun­to co­mún: el po­lo nor­te. Las pa­ra­le­las se co­lo­ca­rían co­mo ar­cos de cír­cu­lo que tie­nen un cen­tro co­mún en el po­lo nor­te. Con es­to To­lo­meo da lu­gar a la aho­ra lla­ma­da pro­yec­ción có­ni­ca. El pri­mer ma­pa de To­lo­meo se pa­re­ce mu­cho a es­ta pro­yec­ción aun cuan­do téc­ni­ca­men­te no lo es. En ella, un co­no de pa­pel se co­lo­ca so­bre el glo­bo co­mo un som­bre­ro, to­cán­do­lo en al­gu­na pa­ra­le­la, y una fuen­te de luz en el cen­tro del glo­bo pro­yec­ta los ras­gos de la su­per­fi­cie so­bre el co­no. El co­no se cor­ta en­ton­ces a lo lar­go de un me­ri­dia­no con­ve­nien­te y se des­do­bla en una su­per­fi­cie pla­na en la for­ma de un cír­cu­lo don­de fal­ta un sec­tor. To­das las pa­ra­le­las son ar­cos de cír­cu­los con un po­lo (el vér­ti­ce del co­no ori­gi­nal). Las pro­yec­cio­nes có­ni­cas son es­pe­cial­men­te úti­les pa­ra ma­pear por­cio­nes del glo­bo que tie­nen an­chu­ra es­te-oes­te pe­ro son cor­tas de nor­te a sur. To­lo­meo con­clu­ye sus ano­ta­cio­nes di­cien­do que hay una for­ma me­jor de re­tra­tar el mun­do ha­bi­ta­do, “po­de­mos ha­cer que nues­tro ma­pa se pa­rez­ca mu­cho más al mun­do co­no­ci­do si ve­mos a las lí­neas me­ri­dia­nas di­bu­ja­das en la for­ma que las lí­neas me­ri­dia­nas se ven en el glo­bo”. Con es­to es­pe­ci­fi­ca­ba los pa­sos a se­guir pa­ra la pro­yec­ción es­fé­ri­ca mo­di­fi­ca­da. Es muy in­te­re­san­te no­tar que en su se­gun­do ma­pa, he­cho con es­ta pro­yec­ción, las áreas ca­si se pre­ser­van (mapa pá­gi­na 43).
 
To­lo­meo fi­ja la po­si­ción de los po­los en un ma­pa di­cien­do que de­be es­tar orien­ta­do de mo­do que el nor­te es­té en la par­te su­pe­rior y el es­te a la de­re­cha, ya que las lo­ca­li­da­des me­jor co­no­ci­das del mun­do es­ta­ban en las la­ti­tu­des nor­te y se­rían más fá­ci­les de es­tu­diar en un ma­pa pla­no si es­tu­vie­ran en la es­qui­na su­pe­rior de­re­cha. Es­to es una con­ven­ción que se adop­tó uni­ver­sal­men­te y a tra­vés de los años. Un ma­pa no orien­ta­do así pre­sen­ta pro­ble­mas pa­ra su iden­ti­fi­ca­ción a pri­me­ra vis­ta; otros sim­ple­men­te no pue­den ser re­co­no­ci­dos. Las téc­ni­cas mo­der­nas fa­ci­li­tan la re­pre­sen­ta­ción con cual­quier ti­po de orien­ta­ción.
 
En las pri­me­ras des­crip­cio­nes ma­te­má­ti­cas de una es­fe­ra pro­yec­ta­da so­bre un pla­no se en­cuen­tran las pro­yec­cio­nes or­to­grá­fi­ca y es­te­reo­grá­fi­ca, des­pués co­no­ci­das ba­jo el nom­bre de pro­yec­cio­nes azi­mu­ta­les, y que to­da­vía es­tán en uso. To­lo­meo ha­bla de ellas en su li­bro El Al­ma­ges­to. En una pro­yec­ción azi­mu­tal una ho­ja de pa­pel se co­lo­ca tan­gen­te al glo­bo en un pun­to. La fuen­te pun­tual de luz pue­de lo­ca­li­zar­se en el cen­tro del glo­bo dan­do lu­gar a la pro­yec­ción gno­mó­ni­ca, que es una de las más an­ti­guas que se co­no­cen (fi­gu­ra 2). Su­pón­ga­se que el glo­bo es trans­pa­ren­te y que so­bre su su­per­fi­cie se ha di­bu­ja­do una re­tí­cu­la (o cra­tí­cu­la) de pa­ra­le­los y me­ri­dia­nos es­co­gi­dos. Cuan­do la luz bri­lla a tra­vés del glo­bo, la som­bra de la cra­tí­cu­la se­rá pro­yec­ta­da en el pa­pel, dan­do lu­gar a la ba­se del ma­pa. En es­te ca­so, el po­lo sur se­rá su pro­pia som­bra en el cen­tro del pa­pel y los me­ri­dia­nos se pro­yec­ta­rán co­mo lí­neas rec­tas que ra­dian des­de ahí. Al mo­ver­nos del po­lo sur al ecua­dor, las pa­ra­le­las se pro­yec­ta­rán en cír­cu­los más y más gran­des que se se­pa­ran en­tre sí.

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fi­gu­ra 2
La pro­yec­ción gno­mó­ni­ca tie­ne la útil pro­pie­dad de que to­dos los gran­des cír­cu­los apa­re­cen co­mo lí­neas rec­tas, por lo que to­das las lí­neas rec­tas so­bre el ma­pa son gran­des cír­cu­los. El he­cho de que la pro­yec­ción gno­mó­ni­ca pre­ser­ve las ru­tas más cor­tas es de un va­lor tre­men­do pa­ra los na­ve­gan­tes, ya que les per­mi­te gra­fi­car las ru­tas más cor­tas muy fá­cil­men­te (siem­pre y cuan­do los pun­tos no es­tén de­ma­sia­do se­pa­ra­dos). Sin em­bar­go, se­guir la tra­yec­to­ria de un gran cír­cu­lo re­quie­re cam­bios con­ti­nuos en la di­rec­ción de la brú­ju­la y es­to es in­con­ve­nien­te des­de el pun­to de vis­ta de la na­ve­ga­ción, tan­to ma­rí­ti­ma co­mo aé­rea.

fig3

fi­gu­ra 3
Cuan­do la fuen­te es­tá so­bre la su­per­fi­cie del glo­bo en el pun­to an­tí­po­da al pun­to tan­gen­te al pla­no, se lla­ma la pro­yec­ción es­te­reo­grá­fi­ca (fi­gu­ra 3). La fuen­te lu­mi­no­sa pue­de en­con­trar­se en al­gún otro pun­to a lo lar­go de la lí­nea de­fi­ni­da por el pun­to tan­gen­te y el cen­tro del glo­bo; si es­tá en un pun­to in­fi­ni­ta­men­te dis­tan­te al glo­bo, da lu­gar a la pro­yec­ción or­to­grá­fi­ca (fi­gu­ra 4).

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fi­gu­ra 4
En to­das las pro­yec­cio­nes azi­mu­ta­les el pun­to de tan­gen­cia es el pun­to cen­tral de un ma­pa cir­cu­lar; to­dos los gran­des cír­cu­los que pa­san por el pun­to cen­tral son lí­neas rec­tas y to­das las di­rec­cio­nes des­de el pun­to cen­tral son exac­tas. Si el pun­to cen­tral es un po­lo, en­ton­ces los me­ri­dia­nos (los gran­des cír­cu­los) ra­dian des­de ese pun­to y las pa­ra­le­las se mues­tran co­mo cír­cu­los con­cén­tri­cos. Ajus­tan­do apro­pia­da­men­te el es­pa­cia­mien­to en­tre pa­ra­le­las de la­ti­tud, po­de­mos tam­bién ase­gu­rar que las dis­tan­cias a lo lar­go de es­tos cír­cu­los son co­rrec­tas. El ma­pa que re­sul­ta se lla­ma pro­yec­ción azi­mu­tal equi­dis­tan­te (fi­gu­ra 5). Es­te ma­pa es una cons­truc­ción es­tric­ta­men­te ma­te­má­ti­ca que no uti­li­za nin­gu­na fuen­te de luz. De un ma­pa cen­tra­do en un po­lo se di­ce que tie­ne la pers­pec­ti­va po­lar, mien­tras que si es­tá cen­tra­do en el ecua­dor, tie­ne la ecua­to­rial. La pers­pec­ti­va de un ma­pa cen­tra­do en cual­quier otra lo­ca­li­dad se lla­ma pers­pec­ti­va obli­cua. No obs­tan­te, el aná­li­sis de un ma­pa se sim­pli­fi­ca si es­tá cen­tra­do en un po­lo o en el ecua­dor.

fig5

fi­gu­ra 5
Las pro­yec­cio­nes or­to­grá­fi­cas se usan pa­ra vis­tas de pers­pec­ti­va de los he­mis­fe­rios ya que mues­tran só­lo uno de ellos a la vez pa­ra evi­tar so­bre­po­ner la ima­gen de un he­mis­fe­rio a la del otro. La ima­gen que re­sul­ta se pa­re­ce­ría mu­cho a có­mo ve­ría­mos la Tie­rra des­de un pun­to dis­tan­te en el es­pa­cio. El área y la for­ma es­tán dis­tor­sio­na­dos. Las dis­tan­cias son rea­les a lo lar­go del ecua­dor y otras pa­ra­le­las.
 
 
El apor­te de Mer­ca­tor
 
 
La pro­yec­ción es­te­reo­grá­fi­ca fue co­no­ci­da por los grie­gos an­ti­guos, des­de el tiem­po de Hi­par­co de Ro­das o tal vez an­tes, es­to es, en la se­gun­da cen­tu­ria an­tes de Cris­to. En 1695, Ed­mun­do Ha­lley, mo­ti­va­do por su in­te­rés en las car­tas es­te­la­res y las he­rra­mien­tas del cál­cu­lo re­cién des­cu­bier­tas, pu­bli­có la pri­me­ra prue­ba de que el ma­pa es­te­reo­grá­fi­co es con­for­me, es de­cir, que al ser pro­yec­ta­das las imá­ge­nes de dos gran­des cír­cu­los, és­tas se in­ter­se­can en un án­gu­lo igual al que tie­nen en­tre sí los dos gran­des cír­cu­los en el glo­bo, es­to es, que los án­gu­los se pre­ser­van. La ca­rac­te­rís­ti­ca de con­for­mi­dad de la pro­yec­ción es­te­reo­grá­fi­ca la ha­ce es­pe­cial­men­te útil pa­ra las car­tas es­te­la­res, en las cua­les el ob­ser­va­dor se con­vier­te en el pun­to des­de don­de la pro­yec­ción ema­na y las es­tre­llas vi­si­bles se pro­yec­tan so­bre un pla­no. Es­tas pro­yec­cio­nes se usan pa­ra la na­ve­ga­ción en re­gio­nes po­la­res. La con­for­mi­dad es una ca­rac­te­rís­ti­ca de la pro­yec­ción de Mer­ca­tor, pe­ro a di­fe­ren­cia del ma­pa ela­bo­ra­do por és­te, en la pro­yec­ción es­te­reo­grá­fi­ca las imá­ge­nes de los me­ri­dia­nos no son pa­ra­le­las en­tre sí. Tam­po­co las tra­yec­to­rias de brú­ju­la cons­tan­te se mues­tran co­mo lí­neas rec­tas en ge­ne­ral; por ejem­plo, las pa­ra­le­las se mues­tran co­mo cír­cu­los. To­ma­das jun­tas, la pro­yec­ción es­te­reo­grá­fi­ca y la de Mer­ca­tor ilus­tran la “ope­ra­ción in­ver­sa”, es­to es, la re­la­ción ma­te­má­ti­ca en­tre de­ri­va­das e in­te­gra­les.
A pe­sar de ejem­plos ais­la­dos de car­to­gra­fía en otros lu­ga­res del mun­do, la Geo­gra­fía de To­lo­meo es el úni­co atlas geo­grá­fi­co que exis­te has­ta nues­tros días le­ga­do por los an­ti­guos. No hay en la li­te­ra­tu­ra al­go que in­di­que que al­gu­na otra co­lec­ción sis­te­má­ti­ca de ma­pas fue­ra al­gu­na vez com­pi­la­da. Los geó­gra­fos de los si­glos XV y XVI se apo­ya­ron de tal mo­do en el tex­to La geo­gra­fía que ig­no­ra­ron los nue­vos des­cu­bri­mien­tos de los ex­plo­ra­do­res ma­rí­ti­mos, al gra­do de ejer­cer una po­de­ro­sa in­fluen­cia que re­tar­dó el pro­gre­so de la car­to­gra­fía. Es­te tex­to fue, a la vez, pie­za cla­ve y pie­dra de mo­li­no; un es­fuer­zo pio­ne­ro que re­ba­só su pro­pia uti­li­dad.
 
En tan­to el es­tu­dio cien­tí­fi­co lan­gui­de­ció en la Eu­ro­pa de la Edad Me­dia, las ideas clá­si­cas se man­tu­vie­ron vi­vas y se de­sa­rro­lla­ron en el mun­do is­lá­mi­co. Un ejem­plo de una pro­yec­ción de ma­pas de es­te pe­rio­do es la lla­ma­da pro­yec­ción glo­bu­lar di­se­ñada por el es­tu­dio­so Al-Bi­ru­ni pa­ra ela­bo­rar car­tas de es­tre­llas. Las pro­yec­cio­nes glo­bu­la­res re­tra­tan un he­mis­fe­rio den­tro de un cír­cu­lo y pa­re­cen pre­sen­tar la Tie­rra en una vis­ta cur­va­da (fi­gu­ra 6). En 1660, un pá­rro­co si­ci­lia­no, Gio­van­ni Bat­tis­ta Ni­co­lo­si, rein­ven­tó la pro­yec­ción de Al-Bi­ru­ni al usar­la pa­ra re­tra­tar los he­mis­fe­rios es­te y oes­te de la Tie­rra, uno jun­to al otro. En el si­glo xix se con­vir­tió en un mé­to­do es­tán­dar pa­ra mos­trar los dos he­mis­fe­rios.

fig6

fi­gu­ra 6
Al tér­mi­no de la Edad Me­dia las ac­ti­vi­da­des ex­plo­ra­to­rias pro­du­je­ron gran can­ti­dad de in­for­ma­ción que, tar­de o tem­pra­no, se in­clui­ría en ma­pas com­pi­la­dos. Los na­ve­gan­tes pre­pa­ra­ron car­tas exac­tas del mar Me­di­te­rrá­neo, ge­ne­ral­men­te sin me­ri­dia­nos o pa­ra­le­los pe­ro do­ta­dos de lí­neas que mos­tra­ban las re­la­cio­nes en­tre puer­tos im­por­tan­tes. Es­tos ma­pas se lla­ma­ron por­tu­la­nos o car­tas por­tu­la­nas. Es tam­bién la era de la im­pren­ta y el ma­pa del mun­do de To­lo­meo se edi­ta en Eu­ro­pa ejer­cien­do gran in­fluen­cia en los car­tó­gra­fos. El es­ta­do del co­no­ci­mien­to del mun­do en las vís­pe­ras del des­cu­bri­mien­to de Amé­ri­ca mo­ti­vó a Cris­tó­bal Co­lón a aven­tu­rar­se ha­cia el oes­te con la es­pe­ran­za de en­con­trar la cos­ta de Asia. Gra­dual­men­te se to­mó con­cien­cia de que no se ha­bía lle­ga­do a las cos­tas de Asia si­no que un Nue­vo Mun­do se ha­bía des­cu­bier­to. Mar­tín Wald­see­mü­ller ilus­tra es­to dra­má­ti­ca­men­te en su ma­pa del mun­do de 1507, uno de los más im­por­tan­tes en la his­to­ria de la car­to­gra­fía. En él, las Amé­ri­cas se re­pre­sen­tan con una ex­ten­sión lon­gi­tu­di­nal muy li­mi­ta­da, ya que fue­ron ajus­ta­das a un en­cua­dre to­le­mai­co mo­di­fi­ca­do y la cos­ta oes­te no se ha­bía ex­plo­ra­do. En la pun­ta del ma­pa hay dos pro­yec­cio­nes he­mis­fé­ri­cas glo­bu­la­res con re­tra­tos de To­lo­meo, co­mo el car­tó­gra­fo del Vie­jo Mun­do y de Amé­rico Ves­pu­cio, co­mo el del Nue­vo Mun­do, que apa­re­ce con el nom­bre de “Amé­ri­ca”. Wald­see­mü­ller se arre­pen­ti­ría des­pués de ha­ber­lo bau­ti­za­do así, pe­ro de­ma­sia­do tar­de pa­ra cam­biar­lo. En es­te ma­pa se apre­cia el co­mien­zo de la evo­lu­ción de la pro­yec­ción cor­di­for­me (en for­ma de co­ra­zón) que se de­sa­rro­lla­ría pos­te­rior­men­te.
 
Lo que Co­lón hi­zo pa­ra lle­gar al Nue­vo Mun­do fue se­guir un pa­ra­le­lo de la­ti­tud cons­tan­te des­de las Is­las Ca­na­rias en la cos­ta oes­te de Áfri­ca, has­ta to­car tie­rra. És­ta no era la ru­ta más cor­ta pe­ro te­nía la ven­ta­ja de ser na­ve­ga­ble, sim­ple­men­te ha­bía que cer­cio­rar­se de que el Sol es­tu­vie­ra en el án­gu­lo co­rrec­to so­bre el ho­ri­zon­te ca­da día a me­dio­día. Na­ve­gar si­guien­do un pa­ra­le­lo pa­ra atra­ve­sar el Atlán­ti­co se con­vir­tió en una prác­ti­ca co­mún. La la­ti­tud se sa­bía de­ter­mi­nar des­de la an­ti­güe­dad, no así la lon­gi­tud; los bar­cos se lan­za­ban al mar con to­tal des­co­no­ci­mien­to en lo que a su lon­gi­tud con­cer­nía.
 
La cir­cun­na­ve­ga­ción del glo­bo rea­li­za­da por Ma­ga­lla­nes y El­ca­no pro­pi­ció mu­cha car­to­gra­fía ori­gi­nal pe­ro se hi­zo im­pe­ra­ti­vo con­tar con ma­pas es­pe­cial­men­te úti­les para los ma­ri­ne­ros. No obs­tan­te el uso de la brú­ju­la y la ro­sa de los vien­tos pa­ra se­ña­lar di­rec­cio­nes en las car­tas, Mi­chel Coig­net de Ant­werp, un hom­bre sa­bio y fa­bri­can­te de ma­pas, ha­ce no­tar que ba­jo las con­di­cio­nes exis­ten­tes y con las pro­yec­cio­nes de ma­pas has­ta en­ton­ces co­no­ci­das no te­nía ca­so se­ña­lar una di­rec­ción so­bre la car­ta de acuer­do con la brú­ju­la, pues las lí­neas que ra­dian de la ro­sa de los vien­tos, en to­das sus di­rec­cio­nes róm­bi­cas, pue­den ser rec­tas so­bre la car­ta, pe­ro las mis­mas apli­ca­das a la su­per­fi­cie es­fé­ri­ca del océa­no pro­du­ci­rían una se­rie de cur­vas es­pi­ra­les que lle­va­rían a un na­ve­gan­te pre­ci­sa­men­te a quién sa­be dón­de, ya que una tra­yec­to­ria de brú­ju­la cons­tan­te so­bre el glo­bo, una “lí­nea róm­bi­ca” o lo­xo­dro­mia, se ve en ge­ne­ral co­mo una es­pi­ral que con­ver­ge a uno de los po­los (fi­gu­ra 7). ¿Có­mo se po­dría en­ton­ces rec­ti­fi­car una lí­nea róm­bi­ca es­pi­ral y pre­sen­tar­se so­bre una ho­ja de pa­pel de tal for­ma que la di­rec­ción de la brú­ju­la se pre­ser­ve, en con­tra de to­das las ad­ver­si­da­des, co­mo una lí­nea rec­ta?

fig7

fi­gu­ra 7
La res­pues­ta vi­no de Mer­ca­tor, un car­tó­gra­fo, gra­ba­dor y fa­bri­can­te de ins­tru­men­tos, quien lo­gró que las lí­neas róm­bi­cas apa­re­cie­ran co­mo rec­tas en el ma­pa. Mer­ca­tor es­tu­dió en las me­jo­res es­cue­las de los Paí­ses Ba­jos, to­mó lec­cio­nes par­ti­cu­la­res de ma­te­má­ti­cas avan­za­das de Gem­ma Fri­sius y se gra­duó en la Uni­ver­si­dad de Lo­vai­na, Bél­gi­ca. Tra­ba­jó co­mo pro­fe­sor, pe­ro se re­ti­ró por un tiem­po al no po­der com­pa­gi­nar sus creen­cias re­li­gio­sas con el mun­do cien­tí­fi­co de Aris­tó­te­les. En 1538 hi­zo un ma­pa del mun­do en dos he­mis­fe­rios, di­bu­ja­do en una pro­yec­ción cor­di­for­me do­ble no usual. Fue so­bre es­te ma­pa que los nom­bres de “Nor­te Amé­ri­ca” y “Sur Amé­ri­ca” apa­re­cen por pri­me­ra vez. Fue tam­bién el pri­me­ro en uti­li­zar el nom­bre de “atlas” pa­ra una co­lec­ción de ma­pas.
 
Cons­tru­yó ins­tru­men­tos ma­ra­vi­llo­sos ta­les co­mo va­rios glo­bos ce­les­tes y te­rres­tres, ajus­tán­do­se al bol­si­llo del clien­te, que eran, por igual, be­llos e in­ge­nio­sos. Uno de los dos glo­bos ce­les­tia­les que cons­tru­yó pa­ra el Em­pe­ra­dor Car­los V fue he­cho de cris­tal con las cons­te­la­cio­nes mar­ca­das so­bre la su­per­fi­cie con un dia­man­te. Sus­pen­di­do den­tro del glo­bo es­ta­ba un glo­bo te­rres­tre de ma­de­ra cu­bier­to con un ma­pa del mun­do cui­da­do­sa­men­te gra­ba­do, he­cho so­bre ti­ras de pa­pel. Es­ta cla­se de ar­te­fac­tos le va­lió a Mer­ca­tor la ben­di­ción ne­ce­sa­ria de la rea­le­za y se hi­zo tan­to fa­mo­so co­mo ri­co y prós­pe­ro. Se de­di­có a ello du­ran­te trein­ta años, an­tes de ata­car el pro­ble­ma de for­mu­lar una pro­yec­ción de ma­pas ade­cua­da pa­ra los na­ve­gan­tes. No era nin­gún no­va­to en ma­te­má­ti­cas y, al pa­re­cer, ha­bía in­ten­ta­do to­das las pro­yec­cio­nes co­no­ci­das en car­to­gra­fía, in­clu­yen­do las pro­pues­tas por To­lo­meo. Su ob­je­ti­vo fue crear una nue­va pro­yec­ción pa­ra es­ti­rar los rom­bos es­pi­ra­les de lí­neas rec­tas, la cual dis­tor­sio­na­ra la dis­tan­cia y las for­mas de las ma­sas de la tie­rra tan po­co co­mo fue­ra po­si­ble. ¡Una ta­rea enor­me! Pe­ro co­mo ma­te­má­ti­co y ven­de­dor de car­tas es­ta­ba in­te­re­sa­do en ha­cer la vi­da más sen­ci­lla al ma­ri­ne­ro.
 
Mer­ca­tor co­men­zó por es­ti­rar los me­ri­dia­nos del glo­bo de tal for­ma que, en lu­gar de con­ver­ger en los po­los, fue­ran lí­neas pa­ra­le­las ver­ti­ca­les que se ex­ten­die­ran al in­fi­ni­to. Al ha­cer­lo pro­du­jo una dis­tor­sión en las dis­tan­cias es­te-oes­te, las cua­les au­men­ta­ron con­sis­ten­te­men­te des­de el ecua­dor, don­de no ha­bía dis­tor­sión, has­ta los po­los, don­de la dis­tor­sión era má­xi­ma. Al dis­tor­sio­nar los me­ri­dia­nos ne­ce­sa­ria­men­te dis­tor­sio­nó sus di­rec­cio­nes, y co­mo la di­rec­ción era el fac­tor que que­ría pre­ser­var, pa­ra ajus­tar la di­rec­ción de sus rom­bos ade­cua­da­men­te au­men­tó el fac­tor dis­tan­cia aún más, es­ti­ran­do ca­da gra­do de la­ti­tud en la mis­ma pro­por­ción en que ha­bía se­pa­ra­do los me­ri­dia­nos. Por tan­to, cer­ca del ecua­dor la dis­tor­sión de la dis­tan­cia era des­pre­cia­ble en tan­to que cer­ca de los po­los la dis­tor­sión de las pa­ra­le­las y de los me­ri­dia­nos era tal que, aun cuan­do se con­ser­va­ba la di­rec­ción de la brú­ju­la, las dis­tan­cias se­ña­la­das en la car­ta es­ta­ban tan de­ses­pe­ran­za­da­men­te exa­ge­ra­das que por­cio­nes de tie­rra co­mo Groen­lan­dia y la ma­sa con­ti­nen­tal so­bre el Ár­ti­co pa­re­cían in­fla­das más allá de la ra­zón. Em­pe­ro, es una pro­yec­ción con­for­me que, aun cuan­do dis­tor­sio­na for­ma y dis­tan­cia, lo ha­ce sis­te­má­ti­ca­men­te. La con­for­mi­dad se pre­ser­va, sin im­por­tar el gra­do de dis­tor­sión. Mer­ca­tor rea­li­zó lo que se pro­pu­so ha­cer y lo­gró una car­ta con pun­tos de brú­ju­la y lí­neas róm­bi­cas en la di­rec­ción co­rrec­ta. Fue su­fi­cien­te pa­ra un so­lo hom­bre.
 
Sin em­bar­go, su car­ta no tu­vo mu­cho éxi­to. Una de las ra­zo­nes por las cua­les per­ma­ne­cía en la ig­no­ran­cia es que era una muy va­lio­sa pie­za de geo­me­tría des­crip­ti­va pe­ro no da­ba al ma­ri­ne­ro nin­gún da­to nu­mé­ri­co que lo ayu­da­ra a en­con­trar su po­si­ción en el mar, era in­ca­paz de res­pon­der a cues­tio­nes prác­ti­cas. Fue Ed­ward Wright quien se abo­có a re­sol­ver es­to. Wright era pro­fe­sor de ma­te­má­ti­cas en Cam­brid­ge pe­ro, en lu­gar de com­pli­car la vi­da de los ma­ri­ne­ros con un tra­ta­do aca­dé­mi­co sal­pi­ca­do de sím­bo­los ma­te­má­ti­cos, ex­pu­so la par­te téc­ni­ca de la pro­yec­ción de Mer­ca­tor di­cien­do al­go co­mo, “su­pón­ga­se que la Tie­rra es­fé­ri­ca se re­pre­sen­ta con un ba­lón cu­bier­to por una red de lí­neas pa­ra­le­las de la­ti­tud y de me­ri­dia­nos igual­men­te es­pa­cia­dos. Co­ló­que­se el ba­lón den­tro de un ci­lin­dro cu­yo diá­me­tro in­te­rior sea tal que el ecua­dor de la es­fe­ra to­que ape­nas las pa­re­des del ci­lin­dro. Ín­fle­se en­ton­ces el ba­lón. Al tiem­po que se ex­pan­de, los me­ri­dia­nos cur­vos se ali­sa­rán y apla­na­rán con­tra el ci­lin­dro. Es­te pro­ce­so con­ti­núa sin fin ya que las re­gio­nes po­la­res y los po­los mis­mos nun­ca se po­drán pre­sio­nar con­tra las pa­re­des. Si el ba­lón se man­tie­ne con­tra los la­dos del ci­lin­dro y el ci­lin­dro se de­sen­ro­lla y apla­na, lo que que­da im­pre­so es la pro­yec­ción del mun­do he­cha por Mer­ca­tor”.
 
La ex­pli­ca­ción de Wright y el có­mo co­rre­gir los erro­res de dis­tan­cia fue su má­xi­ma con­tri­bu­ción a la cien­cia de la car­to­gra­fía. Dio a los ma­ri­ne­ros la lla­ve de la car­ta de Mer­ca­tor y les di­jo có­mo tra­zar una tra­yec­to­ria en ella.
 
No obs­tan­te, Mer­ca­tor es con­si­de­ra­do co­mo el ma­yor car­tó­gra­fo de la era del des­cu­bri­mien­to. La pro­yec­ción que lle­va su nom­bre no ha re­ba­sa­do su uti­li­dad des­pués de más de cua­tro­cien­tos años de exis­ten­cia y es úni­ca pa­ra la na­ve­ga­ción. Es una pro­yec­ción ci­lín­dri­ca que só­lo se pue­de cons­truir ma­te­má­ti­ca­men­te, por lo que no es una pro­yec­ción en el sen­ti­do li­te­ral. En su for­mu­la­ción ori­gi­nal pre­ce­dió el de­sa­rro­llo for­mal de los lo­ga­rit­mos por ca­si cin­cuen­ta años y la in­ven­ción del cál­cu­lo por ca­si cien años (fi­gu­ra 8).

fig8

fi­gu­ra 8
En una pro­yec­ción ci­lín­dri­ca tí­pi­ca, uno se ima­gi­na el pa­pel en­ro­lla­do co­mo un ci­lin­dro al­re­de­dor del glo­bo, tan­gen­te a és­te a lo lar­go del ecua­dor. La luz vie­ne de una fuen­te pun­tual en el cen­tro del glo­bo o, en al­gu­nos ca­sos, de un fi­la­men­to que co­rre de po­lo a po­lo a lo lar­go del eje del glo­bo. En el pri­mer ca­so es cla­ro que los po­los no pue­den mos­trar­se en el pla­no ya que se pro­yec­ta­rían a lo lar­go del eje del ci­lin­dro ha­cia el in­fi­ni­to. En el otro, los po­los se con­vier­ten en lí­neas que for­man la ba­se y el to­pe del ma­pa. El ci­lin­dro se pue­de en­ton­ces abrir y des­do­blar pa­ra pro­du­cir un ma­pa.
 
Equi­pa­do tan­to con un ma­pa de Mer­ca­tor co­mo con un gno­mó­ni­co, en un com­pro­mi­so es­plén­di­do, el na­ve­gan­te pue­de tra­zar una ru­ta útil co­mo si­gue. Pri­me­ro, so­bre el ma­pa gno­mó­ni­co di­bú­je­se la lí­nea rec­ta que co­nec­ta los pun­tos ini­cial y fi­nal del re­co­rri­do. Es­ta es la ru­ta más cor­ta po­si­ble en­tre esos dos pun­tos. Lue­go, a in­ter­va­los re­gu­la­res a lo lar­go de esta ru­ta, mar­que al­gu­nos pun­tos de re­fe­ren­cia. Lo­ca­li­ce es­tos mis­mos pun­tos (así co­mo el pun­to ini­cial y el fi­nal) en un ma­pa de Mer­ca­tor y co­nec­te los pun­tos de re­fe­ren­cia con un seg­mento de lí­nea rec­ta. És­ta es la ru­ta de via­je real. En es­ta for­ma se si­gue una di­rec­ción de brú­ju­la cons­tan­te de un pun­to de re­fe­ren­cia al si­guien­te. La ru­ta que re­sul­ta es muy cer­ca­na a la óp­ti­ma (la más cor­ta) pe­ro re­quie­re que se ha­gan cam­bios pe­rió­di­cos en la di­rec­ción de la brú­ju­la (en los pun­tos de re­fe­ren­cia).
Sin em­bar­go, que­da­ba aún sin re­sol­ver el pro­ble­ma de la de­ter­mi­na­ción de la lon­gi­tud. No fue si­no has­ta 1762, con John Ha­rri­son y su má­qui­na de ha­cer tic-tac, cu­yo pri­mer mo­de­lo con­fec­cio­nó en 1735, y con­ti­nua­ría per­fec­cio­nan­do, que se po­dría de­ter­mi­nar cien­tí­fi­ca­men­te. La prác­ti­ca co­mún en­tre na­ve­gan­tes de ajus­tar su lon­gi­tud y cro­nó­me­tros des­de Green­wich hi­zo de es­ta ciu­dad, en 1884, el lu­gar ofi­cial pa­ra el me­ri­dia­no pri­mo, ini­cián­do­se con ello, una nue­va era pa­ra las pro­yec­cio­nes del mun­do.
 
 
Los tra­ba­jos de Lam­bert
 
 
Al­gu­nas pro­yec­cio­nes, co­mo vi­mos, tie­nen la pro­pie­dad de pre­ser­var las dis­tan­cias re­la­ti­vas co­rrec­tas en to­das las di­rec­cio­nes des­de el cen­tro del ma­pa, son las lla­ma­das pro­yec­cio­nes equi­dis­tan­tes; al­gu­nas mues­tran áreas igua­les (las pro­yec­cio­nes equi­va­len­tes o de área igual) o for­mas si­mi­la­res a las del glo­bo en la mis­ma es­ca­la, pre­ser­van­do los án­gu­los (pro­yec­ción con­for­me). És­tas se cla­si­fi­can por su ti­po en tres gran­des gru­pos: ci­lín­dri­cas, có­ni­cas o azi­mu­ta­les. Tan­to las pro­yec­cio­nes ci­lín­dri­cas co­mo las có­ni­cas pue­den mo­di­fi­car­se pa­ra con­tro­lar, has­ta cier­to pun­to, la dis­tor­sión, a con­di­ción de mar­car dos lí­neas don­de coin­ci­dan la es­fe­ra y el ci­lin­dro o el co­no en lu­gar de una. Son las lla­ma­das pro­yec­cio­nes se­can­tes (en opo­si­ción a las tan­gen­tes). Sus nom­bres res­pon­den igual­men­te a sus au­to­res y a su téc­ni­ca ma­te­má­ti­ca. Así, te­ne­mos ma­pas ci­lín­dri­cos de áreas igua­les, co­mo el ma­pa de Ja­mes Gall, ma­pas azi­mu­ta­les de áreas igua­les, co­mo el de Lam­bert, ma­pas co­mo el si­nu­soi­dal (fi­gu­ra 9) y el de Moll­wei­de, quien re­pre­sen­ta la Tie­rra so­bre una elip­se (fi­gu­ra 10).

fig9

fi­gu­ra 9

fig10

fi­gu­ra 10
Exis­ten tam­bién las lla­ma­das pro­yec­cio­nes de com­pro­mi­so, por­que fue­ron cons­trui­das tra­tan­do de que la dis­tor­sión de las pro­pie­da­des que no se con­ser­van fue­se mí­ni­ma; y las mis­ce­lá­neas, que in­cor­po­ran un po­co de va­rias pro­yec­cio­nes. Sin em­bar­go, to­do ma­pa que ha­ga­mos dis­tor­sio­na­rá con­si­de­ra­ble­men­te el mun­do es­fé­ri­co ori­gi­nal, pe­ro las dis­tor­sio­nes pue­den cuan­ti­fi­car­se geo­mé­tri­ca­men­te; el mé­to­do co­mún­men­te uti­li­za­do es el de los lla­ma­dos mar­ca­do­res de Tis­sot, au­na­do a un aná­li­sis ma­te­má­ti­co del ti­po de dis­tor­sión (fi­gu­ra 11).

fig11

fi­gu­ra 11
La apor­ta­ción que hi­zo el ma­te­má­ti­co sui­zo Jo­hann Hein­rich Lam­bert es de re­co­no­cer­se, ya que con su tra­ta­do so­bre ma­pas de 1772 em­pu­jó la car­to­gra­fía ha­cia una nue­va era al pre­sen­tar sie­te nue­vas pro­yec­cio­nes de ma­pas, co­mo la azi­mu­tal de áreas igua­les (fi­gu­ra 12) y la có­ni­ca con­for­me. Uno de sus ma­pas más im­por­tan­tes es la pro­yec­ción trans­ver­sal de Mer­ca­tor. El tér­mi­no trans­ver­sal o trans­ver­so se usa pa­ra de­sig­nar un ma­pa cu­ya pers­pec­ti­va usual ha si­do ro­ta­da no­ven­ta gra­dos.

fig12

fi­gu­ra 12
A di­fe­ren­cia de su pro­yec­ción azi­mu­tal de áreas igua­les, la pro­yec­ción ci­lín­dri­ca de áreas igua­les de Lam­bert es usa­da muy ra­ra­men­te de­bi­do a la se­ve­ra dis­tor­sión en for­mas, es­pe­cial­men­te en las la­ti­tu­des me­dias y su­pe­rio­res. La pro­yec­ción se cons­tru­ye en­ro­llan­do un ci­lin­dro al­re­de­dor de un glo­bo, ape­nas to­cán­do­lo en el ecua­dor y pro­yec­tan­do los pun­tos so­bre el glo­bo ho­ri­zon­tal­men­te al pun­to más cer­ca­no so­bre el ci­lin­dro. En es­te es­ce­na­rio pu­ra­men­te ma­te­má­ti­co, las re­gio­nes po­la­res se acor­ta­rán y se ha­rán más an­chas de lo que real­men­te son, no obs­tan­te, to­das las re­gio­nes del glo­bo se mues­tran en sus pro­por­cio­nes co­rrec­tas (fi­gu­ra 13). Pa­ra mi­ni­mi­zar el pro­ble­ma de la dis­tor­sión la pro­yec­ción se re­di­se­ña a la ma­ne­ra se­can­te, es­to es, se mar­can dos lí­neas es­tán­dar de con­tac­to en lu­gar de só­lo una. Tal ma­pa re­di­se­ña­do to­da­vía exhi­be dis­tor­sio­nes en las for­mas de las re­gio­nes pe­ro es­tán con­tro­la­das, de al­gu­na ma­ne­ra, por el he­cho de que el ma­pa es­tá aho­ra di­vi­di­do, de la par­te su­pe­rior a la ba­se, en tres por­cio­nes y no so­la­men­te en dos. Un ejem­plo de es­ta nue­va pro­yec­ción es la del clé­ri­go es­co­cés Ja­mes Gall, de 1885, con las pa­ra­le­las a 45° N y S. Cla­ra­men­te, es­ta cons­truc­ción se re­du­ce a la ci­lín­dri­ca de áreas igua­les de Lam­bert pe­ro ajus­tan­do la la­ti­tud ele­gi­da a ce­ro, es de­cir, en­vian­do las lí­neas co­rres­pon­dien­tes al ecua­dor.

fig13

fi­gu­ra 13
Una ob­je­ción que uno pu­die­ra po­ner a cual­quier pro­yec­ción ci­lín­dri­ca es que es rec­tan­gu­lar. Es de­cir, la Tie­rra, un ob­je­to esen­cial­men­te re­don­do, se di­bu­ja co­mo un rec­tán­gu­lo re­dondo. To­lo­meo hi­zo su cons­truc­ción cur­va de la Tie­rra, en su se­gun­da pro­yec­ción, con la in­ten­ción prin­ci­pal de re­pro­du­cir su for­ma re­don­da. El re­co­no­ci­do car­tó­gra­fo Art­hur Ro­bin­son, en la dé­ca­da de 1960, ini­ció un mo­vi­mien­to pa­ra eli­mi­nar los ma­pas del mun­do rec­tan­gu­la­res de­bi­do a la fal­sa im­pre­sión que es­tos ma­pas pue­den crear en la men­te de las per­so­nas so­bre las for­mas y ta­ma­ños re­la­ti­vos de las ma­sas de tie­rra, de los océa­nos y de la Tie­rra mis­ma.
 
Es­to fue lo que se tra­tó de re­sol­ver con el ma­pa Di­ma­xion. La pro­yec­ción usa­da pa­ra es­te ma­pa­mun­di fue crea­da y pre­sen­ta­da en 1954 por Buck­mins­ter Fu­ller, un dis­tin­gui­do ma­te­má­ti­co. Es el úni­co ma­pa pla­no que mues­tra la su­per­fi­cie de la Tie­rra co­mo real­men­te es: una is­la en un océa­no sin nin­gu­na dis­tor­sión vi­si­ble de las for­mas y ta­ma­ños re­la­ti­vos de las re­gio­nes te­rres­tres y sin se­pa­rar los con­ti­nen­tes. Se con­si­de­ra el ma­pa pla­no más exac­to del mun­do.
Es­to só­lo en cuan­to a ma­pas pla­nos, ya que tam­bién exis­ten pro­yec­cio­nes so­bre su­per­fi­cies cur­vas, lla­ma­das de re­vo­lu­ción, las cua­les se ge­ne­ran con cur­vas ma­te­má­ti­cas que se ha­cen gi­rar so­bre al­gún eje y re­ciben nom­bres ta­les co­mo ca­te­noi­de, seu­does­fe­ra, to­ro y nos mues­tran, de­fi­ni­ti­va­men­te, otros mun­dos (fi­gura 14).

fig14

fi­gura 14
La coin­ci­den­cia de Gall y Pe­ters
 
 
En­tre to­das las pro­yec­cio­nes exis­ten­tes, dis­tin­gui­mos una en es­pe­cial, la de Mer­ca­tor, por­que es la ima­gen del mun­do más fa­mi­liar que te­ne­mos. La ma­yo­ría de los ma­pas co­mer­cia­les es­tán he­chos así. Sin em­bar­go, un re­tra­to del mun­do que ha in­ten­ta­do sus­ti­tuir­la es el que en 1973 pre­sen­tó el his­to­ria­dor ale­mán Ar­no Pe­ters (quien no te­nía nin­gu­na pre­pa­ra­ción for­mal en car­to­gra­fía), el cual se ha con­ver­ti­do en el ma­pa ofi­cial de las or­ga­ni­za­cio­nes de­di­ca­das al be­ne­fi­cio so­cial del Ter­cer Mun­do por la re­pre­sen­ta­ción fiel de la pro­por­ción en­tre las áreas a que da lu­gar.
 
Los car­tó­gra­fos sí con­si­de­ran el pa­pel de los ma­pas en la so­cie­dad y ofre­cen evi­den­cia com­pul­si­va del po­der que tie­nen pa­ra in­fluen­ciar la opi­nión de la gen­te. La crea­da por Pe­ters es una pro­yec­ción de ti­po ci­lín­dri­ca con la pro­pie­dad de ser equi­va­len­te. Sin em­bar­go, se di­ce que en rea­li­dad fue un re­des­cu­bri­mien­to, ya que se tra­ta de la mis­ma pro­yec­ción que Ja­mes Gall des­cu­brió en 1885, pe­ro que no se po­pu­la­ri­zó en­ton­ces.
 
Es­to dio lu­gar a una de las con­tro­ver­sias más can­den­tes en la co­mu­ni­dad car­to­grá­fi­ca. Es por eso que aho­ra se le co­no­ce co­mo el ma­pa de Gall-Pe­ters (fi­gu­ra 15). En él, con­ti­nen­tes co­mo Áfri­ca apa­re­cen de­bi­da­men­te pro­por­cio­na­dos con res­pec­to a Eu­ropa, y las áreas de Groen­lan­dia y Aus­tra­lia se ven, por pri­me­ra vez, en pro­por­ción real. En nues­tro con­tex­to de las in­te­rac­cio­nes de ma­te­má­ti­cas y car­to­gra­fía es de ha­cer­se no­tar que las dis­tor­sio­nes en la for­ma de las re­gio­nes ecua­to­ria­les en el ma­pa de Gall-Pe­ters son de la mis­ma mag­ni­tud que las dis­tor­sio­nes del área de las re­gio­nes de la­ti­tud me­dia en el ma­pa de Mer­ca­tor. La cues­tión de exac­ti­tud no pue­de se­pa­rar­se del pro­pó­si­to del mapa.

fig15

fi­gu­ra 15
El ma­pa de Pe­ters re­ci­bió mu­cha di­fu­sión; sin embargo, no lo­gró su co­me­ti­do: se ve ex­traño. El mis­mo ­Ar­thur Ro­bin­son di­jo del ma­pa de Pe­ters que “le re­cuer­da de al­gu­na ma­ne­ra la ro­pa in­te­rior des­gas­ta­da que se usó to­do un lar­go in­vier­no, mo­ja­da, y col­ga­da del Cír­cu­lo Ár­ti­co pa­ra se­car­se”.
 
Los si­glos XVII, XVIII y XIX son, en car­to­gra­fía, la era de las pro­yec­cio­nes, y ca­si no hay ma­te­má­ti­co so­bre­sa­lien­te que no ha­ya da­do su nom­bre a por lo me­nos una de ellas. Te­nían por he­ren­cia mo­de­los co­mo los de la pro­yec­ción or­to­grá­fi­ca, la es­te­reo­grá­fi­ca, las car­tas pla­nas, las tres pro­yec­cio­nes to­le­mai­cas, mu­chos ca­sos de la pro­yec­ción cor­di­for­me y las tres va­rian­tes de la pro­yec­ción de Mer­ca­tor. Otras pro­yec­cio­nes se in­ven­ta­ron o adap­ta­ron. En el xviii, los prin­ci­pios cien­tí­fi­cos del que­ha­cer car­to­grá­fi­co es­ta­ban bien es­ta­ble­ci­dos y las ine­xac­ti­tu­des no­ta­bles en los ma­pas pro­ve­nían del des­co­no­ci­mien­to de par­tes del mun­do aún no ex­plo­ra­das. El xix fue el si­glo de la es­pe­cia­li­za­ción. En la cen­tu­ria por ve­nir, la car­to­gra­fía, la “cien­cia de los prín­ci­pes”, fue de­mo­cra­ti­za­da tan­to co­mo in­ter­na­cio­na­li­za­da; su­ce­de en­ton­ces una se­rie de avan­ces tec­no­ló­gi­cos que la mo­di­fi­can ra­di­cal­men­te. Las pro­yec­cio­nes de Ec­kert, por ejem­plo, fue­ron pre­sen­ta­das por Max Ec­kert en 1906. Du­ran­te las gue­rras mun­dia­les se usa la fo­to­gra­fía aé­rea pa­ra ha­cer ma­pas y en 1966 se lan­za el pri­mer sa­té­li­te con pro­pó­si­to de in­ves­ti­ga­ción cien­tí­fi­ca. Y aun­que to­da­vía exi­ten por­cio­nes con­si­de­ra­bles de la Tie­rra que no han si­do le­van­ta­das en de­ta­lle y ese tra­ba­jo con­ti­nua —co­mo la ex­plo­ra­ción de la An­tár­ti­da—, gra­cias a los gran­des avan­ces en las téc­ni­cas car­to­grá­fi­cas y en el co­no­ci­mien­to, las po­si­bi­li­da­des de có­mo ha­cer ma­pas son aho­ra in­fi­ni­tas.
Lau­ra Ele­na Mo­ra­les Gue­rre­ro
Ins­ti­tu­to de Ma­te­má­ti­cas, Uni­ver­si­dad Na­cio­nal Au­tó­no­ma de Mé­xi­co.
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Morales Guerrero, Laura Elena. (2004). Los retratos del mundo. Ciencias 74, abril-junio, 42-55. [En línea]
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