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| Carlos Prieto de Castro |
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El propósito de este ensayo es presentar dos resultados
que sacudieron las matemáticas durante los años ochenta. Se trata de la clasificación de las variedades de dimensión cuatro (4-variedades), simplemente conexas, realizada por M. Freedman, y del teorema de S. Donaldson, sobre diferenciabilidad de 4-variedades. Dar los resultados con el rigor adecuado se saldría completamente de la mira de este trabajo, de modo que, en vez de eso, con el objeto de plantearlos, haremos un recorrido a través de conceptos matemáticos mucho más accesibles. Así, presentaremos las superficies, su construcción y clasificación, como motivación para el resultado de Freedman. Ya que las superficies son hermosos objetos matemáticos de comprensión sencilla, esto debe equilibrar y hacer más accesible la parte más técnica requerida para plantear los resultados de Freedman y Donaldson.
Por otro lado, el lector menos cercano a la forma de pensar de los matemáticos puede, haciendo un pequeño esfuerzo, saltarse algunos detalles, si tiene in mente que el juego geométrico de este artículo es el planteamiento de similitudes y diferencias entre las superficies y las 4-variedades, en la misma forma que un geógrafo o un astrónomo podría plantear las similitudes y diferencias entre la superficie de la Tierra (que es una esfera), y la 4-variedad (aún desconocida) que describe la forma del cosmos, es decir, del espacio-tiempo de todos los eventos que constituyen el universo. (A este respecto vale la pena señalar la obra singular, que por su contenido y su belleza se ha convertido en un best seller a nivel mundial. Se trata del libro de S. Hawking, A Brief History of Time del cual ya hay una versión en español).
Antes de entrar en el problema conviene iniciar la discusión hablando de un resultado clásico de la topología. Es un ejercicio relativamente simple el de imaginar el concepto de superficie. Se trata de un objeto geométrico, que en la cercanía de cada uno de sus puntos se ve como un plano. En la figura 1 se ilustran algunos ejemplos de superficies. Se trata de la superficie esférica, o simplemente esfera S2, la superficie de una rosca, o simplemente toro, F1.
Se tiene también la superficie de un “brezel” (el panecillo alemán mal llamado “pretzel”, que parece la superficie de dos roscas que al hornearse se quedaron pegadas), o superficie orientable de género 2, F2. La superficie F2 se obtiene de dos toros haciendo la operación suma conexa, que consiste en perforar sendos agujeros en los toros y pegar a ambos a lo largo de los bordes; es decir, F2 = F1 # F1 (Figura 2).
Este proceso de suma conexa puede continuarse y así obtener F3, F4,…, Fg. Fg es la superficie conexa de género g. (Figura 3).
Un método alternativo de obtener las superficies orientables es como sigue. En el caso del toro podemos tomar un pedazo de “membrana elástica” con la forma de un cuadrado y pegar sus lados opuestos como se indica en la figura 4.
La construcción general de Fg se obtiene de un 4g-gono, o sea, un polígono regular con 4g lados, pegando sus lados como se indica.
Si seguimos jugando con esta idea, podemos, por ejemplo, tomar un cuadrado otra vez, pero ahora pegaremos los lados de manera muy distinta a la que seguimos en el ejemplo anterior; lo haremos como se indica en la figura 5. Obtendremos algo todavía más difícil de imaginar, pues en el mundo en que vivimos no se podría llevar a cabo una construcción semejante; el resultado abstracto sí existe; sin embargo, no vive en el espacio euclidiano de 3 dimensiones, R3.
En la figura 6 se ilustra, a pasos, la construcción anterior. Al resultado se le conoce como botella de Klein, N2, o superficie no orientable de género 2.
Esta es una superficie no orientable; es decir, podemos dar un paseo “alrededor” de N2, y al volver “perdemos la orientación”. En otras palabras, se intercambia la derecha por la izquierda. Corroborar esto, en el caso de la botella de Klein, es un ejercicio sencillo de imaginación.
Un ejemplo muy importante de objeto no orientable es la banda de Möbius, que es una superficie con frontera. Se construye tomando un cuadrado e identificando dos de sus lados opuestos, invirtiendo así su orientación, como se indica en la figura 7.
Si a una banda de Möbius le pegamos un disco a lo largo de su frontera, obtenemos una superficie no orientable conocida como el plano proyectivo, N1 = P2. (Figura 8).
Esta construcción, sin embargo, tampoco puede realizarse en el espacio euclidiano de tres dimensiones. Si tomamos ahora dos bandas de Möbius y las pegamos a lo largo de su frontera (construcción que tampoco se puede realizar en el espacio de tres dimensiones), obtenemos una botella de Klein. Es un hecho que ninguna de las superficies no orientables sin frontera puede construirse dentro del espacio euclidiano de dimensión tres. Ya que la banda de Möbius es un plano proyectivo con un agujero, la botella de Klein resulta ser una suma conexa de dos planos proyectivos, es decir, N2 = P2 # P2.
Como en el caso orientable, se puede continuar este proceso obteniendo las superficies N3, N4,…, Ng, o sea, esta última, la superficie no orientable de género g.
Más formalmente, el concepto de superficie o de variedad de dimensión 2 es el siguiente: es un objeto geométrico que localmente se ve como un plano. Es decir, es un objeto geométrico tal, que se pueden dibujar mapas de sus regiones. La figura 9 ilustra una porción de una superficie.
Decimos que la superficie, o variedad de dimensión 2, es cerrada si es acotada (no es infinita) y no tiene frontera; es decir, si no hay caminos que conduzcan al “infinito”. Son ejemplos de variedades cerradas todas las variedades S2, F1, F2,…, N1, N2… Uno de los resultados centrales de la topología es el Teorema de clasificación de superficies. El caso orientable lo probó Möbius (1790-1868) en 1861, en un trabajo que sometió para el Grand Prix de Mathématiques de la Academia de Ciencias de París. A pesar de la trascendencia del resultado, ni este ni ninguno de los otros trabajos matemáticos presentados fue considerado por el jurado. El resultado del planteamiento de Möbius es el siguiente:
TEOREMA. Toda superficie cerrada está en la lista S2, F1, F2,…, N1, N2…
El significado de esto es que cualquier superficie cerrada la podemos deformar, sin romperla, hasta convertirla en alguna de las de la lista, siempre y cuando imaginemos que está hecha de alguna tela elástica. Por ejemplo, podemos considerar la superficie de una taza y la superficie de una rosca (o sea F1); es fácil ver que una se puede deformar y transformarse en la otra (Figura 10).
La clasificación de objetos geométricos reviste gran importancia, desde otros aspectos de la ciencia, como la geografía, la astronomía o la física. Por ejemplo, en la Edad Media sólo se concebía a la tierra con un criterio local. La noción global que de ella se tenía era errónea. Se pensaba que la tierra era plana, porque localmente así se percibe. ¿Cómo decidir, desde una perspectiva local, qué forma tiene la tierra?
Efectivamente, la tierra localmente es “plana”: los cartógrafos lo habían demostrado incansablemente. Hacer mapas o planos de regiones de la tierra, muestra que ésta se ve localmente como un plano. De ahí, sin embargo, no se puede concluir que globalmente sea plana (Figura 11).
El aceptar que la tierra rota y que, por lo tanto, tiene simetría rotacional, no resuelve el problema; la tierra podría no ser una esfera, incluso bien podría ser un toro, como se ve en la figura 12.
Los objetos que hasta ahora hemos estudiado se pueden describir localmente por dos coordenadas reales. Subyace en ellos, así, el concepto de plano euclidiano o espacio euclidiano de dimensión dos, R2, que se obtiene del concepto de recta real, R, donde viven los números reales, tomando parejas de éstos. Si cambiamos el concepto de recta real, R, por el concepto de plano complejo, C, donde viven los números complejos, y en el cual, por cierto, todas las ecuaciones polinomiales tienen solución, construimos un espacio de dimensión 4, que consiste de parejas, ahora de números complejos, en analogía con el plano cartesiano que consiste de parejas de números reales. En otras palabras, el plano complejo, es un espacio euclidiano de dimensión dos, con una estructura de conjunto de números, y su correspondiente espacio de parejas C2, es un espacio euclidiano de dimensión cuatro.
Usando este espacio de dimensión cuatro, podemos llegar, desde el concepto de variedad que localmente se ve como un plano, al de una variedad que localmente se ve como un espacio de dimensión cuatro y que, localmente, se puede describir por dos coordenadas complejas; es decir, llegamos al concepto de 4-variedad. Este concepto tiene en matemáticas un significado muy importante; sin embargo, transgrede la frontera de las matemáticas. Según la física, nuestro universo tiene cuatro dimensiones; es ésta la visión del espacio-tiempo. Como en el Medievo con la Tierra, la visión que actualmente tenemos del universo es local, y localmente se ve como R4, es decir, como el espacio euclidiano de dimensión cuatro. Es así una 4-variedad. Pero, ¿qué forma tiene globalmente?
Mike Freedman obtuvo el máximo galardón que se otorga a un matemático, la Medalla Fields, en 1986, por su clasificación de las 4-variedades cerradas, orientables, simplemente conexas (es decir, tales que cualquier trayectoria cerrada en ellas puede contraerse), clasificación que tiene un asombroso parecido con la de las superficies. Antes de enunciarla conviene reformular la clasificación de las superficies. Para ello mencionaremos, sin entrar en detalles, que a una superficie puede asociársele una matriz simétrica canónica (la matriz de una forma bilineal llamada su forma de intersección). El teorema de clasificación puede entonces reformularse, como se expresa en la siguiente tabla:
Las matrices del primer tipo son de 2n x 2n, si la suma conexa tiene n términos, es decir, si la superficie es orientable de género n, y, análogamente la segunda es de n x n, si la superficie es no orientable de género n. En el fondo, lo que esto dice es que para las matrices del primer tipo, la superficie correspondiente es orientable de género igual a la mitad de la dimensión de la matriz, mientras que para las matrices del segundo tipo, la superficie correspondiente es no orientable de género igual a la dimensión de la matriz.De la misma forma que para las superficies, a cada 4-variedad cerrada, orientable, simplemente conexa, se le puede asociar una matriz simétrica canónica. Como en el caso de las superficies, esta matriz determina la variedad, e, inversamente, dada una variedad, a ésta le corresponde una matriz.Hay una matriz “excepcional”, de 8 x 8, a saber:
a la que según el teorema de Freedman le corresponde una 4-variedad, V8.
Simon Donaldson también obtuvo en 1986 la Medalla Fields por un trabajo extraordinario de interdisciplina, en el que usando varias áreas de las matemáticas, y basando sus argumentos en la Teoría de campos de Yang-Mills, que es una muy importante área de la física, estudió las matrices asociadas a una 4-variedad, en relación con la estructura diferenciable de la variedad. Vagamente, la estructura diferenciable permite realizar en la variedad, en la vecindad de cada uno de sus puntos, cálculo diferencial (o sea, derivadas de todos los órdenes).
De los resultados de Freedman se obtiene la clasificación de las 4-variedades cerradas, orientables, simplemente conexas, que admiten una estructura diferenciable, a saber:
Finalmente, para concluir este párrafo enunciaremos el resultado principal de Donaldson.
TEOREMA (Donaldson, 1982). Si V es una variedad de dimensión cuatro, simplemente conexa, compacta y tal, que su matriz asociada es definitivamente positiva, entonces su matriz canónica es
Este teorema de apariencia tan inocente, tiene dos aspectos centrales:
1. Su demostración depende de la teoría de Yang-Mills; es decir, es una aplicación de la física a las matemáticas.
2. Tiene vastas aplicaciones, incluyendo la secuela de investigación que ha dejado.
Una consecuencia asombrosa del teorema es la siguiente:
El espacio euclidiano de dimensión 4, R4, admite una infinidad de estructuras diferenciables.
En su secuela tiene investigaciones recientes sobre la geometría diferencial de haces sobre variedades de dimensión cuatro, que llevan a cabo físicos y matemáticos, y que, entre otras muchas cosas, busca resolver el enigma de Einstein: Explicar el campo unificado.
¿Qué forma tendrá el universo? ¿Será la del espacio euclidiano R4, o la de la esfera S4, o la de alguna de las variedades de la lista? La respuesta la tendrán los astrónomos al incrementar aún más el alcance de sus telescopios.
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Refrerencias Bibliográficas
General
1. Hawking, S., A Brief History of Time, Bantam, 1988.
2. Penrose, R., The Emperor’s New Mind, Penguin, 1991. Topología de Variedades
3. Freedman, M. H., “The topology of 4-dimensional manifolds”, J. Differential Geom., 17 (1982), 357-453. 4. Freedman, M. H., “There is no room to spare in four dimensional space”, Notices Amer. Math. Soc., 31, (1984), 3-6. 5. Gompf, R., “Three exotic R4s and other anomalies”, J. Differential Geom., 18 (1983), 317-428. 6. Milnor, J., On simply connected 4-mainfolds, Proc. Symposium Internacional de Topología Algebraica, UNAM, México, 1958, 122-128. 7. Stöckcr, R., Zieschang, H., Algebraische Topologie, Eine Einführung, B. G. Teubner, Stuttgart, 1988. Geometría Diferencial y Física Matemática
8. Atiyah, M. F., The Geometry of Yang-Mills Fields, Lezione Fermiane, Scuola Normale Sup., Pisa, 1979.
9. Atiyah, M. F., J. D. S., Jones, “Topological aspects of Yang-Mills Theory”, Comm. Math. Phys., 61 (1978), 97-118. 10. Atiyah, M. F., R. S. Ward, “Instantons and Algebraic Geometry”, Comm. Math., Phys., 55 (1977), 117-124. 11. Bourguignon, J. P., H. B. Lawson, Jr., “Yang-Mills Theory, its Physical Origins and Differential Geometric Aspects, Ann. of Math. Stud., 102, Princeton Univ., Press, 1982, 395-421.
12. Donaldson, S. K., “Self-dual connections and the topology of smooth 4-manifolds”, Bull. Amer. Math. Soc. (N. S.) 8, (1983), 81-83.
13. Donaldson, S. K., “An application of gauge theory to ¿4-dimensional topology”, J. Differential Geom., 18 (1983), 279-315.
14. Freed, D., K. Uhlenbeck, Instantons and Four-Manifolds, Springer, 1984.
15. Lawson, H. B. Jr., The Theory of Gauge Fields in Four Dimensions, Regional Conference Series in Math. 58, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1985.
16. Taubes, C. H., “Self-dual connections on non-self-dual 4-manifolds”, J. Differential Geom., 17 (1982), 139-170.
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Carlos Prieto de Castro
Instituto de Matemáticas,
Universidad Nacional Autónoma de México.
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cómo citar este artículo →
Prieto de Castro, Carlos. 1993. Un problema de frontera en matemáticas. Ciencias, núm. 32, octubre-diciembre, pp. 11-14. [En línea].
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