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| Necrológica Stephen Jay Gould |
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Carlos López Beltrán
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San Agustín fustigaba a Varrón por defender la fantasía de que algunos hombres eran descendientes de dioses. La razón dada por el sabio romano era que, aunque falsa, dicha creencia impulsaba a algunos a emprender tareas gloriosas, lo que no llevarían a cabo de saberse simples mortales; pero el santo cristiano censuraba toda mentira, sin excepción. Ante ciertos casos me inclino por Varrón, los exagerados, los exaltados, los entusiastas suelen hacer caber en simples y pequeñas vidas humanas, hazañas de tamaños magníficos. Y si se alían a la pasión dotes contrastantes como el rigor y la tenacidad, el resultado se vuelve abrumador. A quienes hemos seguido por ya décadas el caudal pasmoso de la obra ensayística de Stephen Jay Gould nos conmociona especialmente el enterarnos de su muerte. Es como si le dijeran al adicto que se acabó el rock o que prohibieron los toros. Suena increíble, atroz. ¿Qué va uno a hacer con ese espacio de vida que se cancela? Como un maestro mío hizo con Cortázar, habrá que dejar sin leer uno o dos libros que se nos hayan escapado de su vasta cosecha para sentir siempre la presencia de esa promesa que nos renovó durante muchos años: algo nuevo de Gould, palpitante e inexplorado, al alcance.
“El mundo de la genética de caracoles ha perdido a su luminaria”, escribe Steven Jones. Y sí, aunque los lectores de su prosa literaria tendemos a olvidarlo, Gould afincaba sus largos y eruditos paseos por los territorios más diversos de la biología, la historia, el arte, la arquitectura, la numerología del béisbol, en una honda y dedicada especialización científica; era experto en caracoles marinos de las Bahamas, vivos y, sobre todo, fosilizados. Su obsesión por los datos y los detalles, por las sutiles diferencias que marcan abismos, por la dialéctica entre la metrificación estadística (con sus revelaciones prodigiosas y sus tremendas trampas) y los evanescentes cambios cualitativos, que encontramos proyectada sobre la mayor diversidad de temas, seguramente se afinó en su tenaz labor de décadas como paleontólogo.
La mente y el trabajo de Gould han dejado su huella en varias disciplinas; además de la labor de zapa paleontológica, les dio a sus colegas (junto con Niles Eldredge) el orgullo de que una teoría basada en la mirada añosa de su disciplina, el equilibrio puntuado, sacara de su complacencia a los flamantes genetistas neodarwinianos y les recordara que había todavía mucho trabajo empírico y teórico por hacer antes de dar por acabada la explicación evolucionista de la vida. Esta teoría dejó en claro que atribuir a la diferencia de adecuación de los genes y sus efectos en el largo plazo todos los rasgos de los seres vivos, sin más, era una actitud perezosa, que cerraba preguntas interesantes, como las derivadas de los constreñimientos estructurales, embriológicos o de otra índole, que limitan la plasticidad de los organismos y canalizan sus formas. Aunque no goza hoy por hoy de muchos seguidores, la fuerza con la que Gould defendió su propuesta contribuyó a una floración de debates (que continúan) en los que el darwinismo ha salido reforzado por un bien ganado pluralismo. En el nivel teórico del darwinismo, en el que la biología y la filosofía se han hermanado durante las décadas recientes para dispersar oscuridades y formular con mayor nitidez las divergencias, Gould ha sido una presencia toral. El artículo que escribiera con su colega de Harvard, Richard Lewontin, para criticar el acendrado adaptacionismo reinante entre los biólogos, usando la analogía espléndida de los spandrels de San Marcos, es un clásico que ha rebasado las fronteras disciplinarias y es hoy día discutido con provecho por millares de académicos.
Gould fue catedrático de historia de la ciencia, y sus obras históricas, como The Mismeasure of Man o Time´s Arrow, aunque nunca perdieron un tinte amateur y a veces pecaron de cierta complacencia, fueron bienvenidas por los historiadores, tanto por sus inteligentes entusiasmos y su pasión crítica, como por el hecho de que aumentaron el rating del gremio en su conjunto. Siguiendo a Gould, muchos nos aventuramos más hondamente en la maleza de la historia.
La pasión crítica y polémica de Gould derivaba también de su clara posición política de izquierda. Fervoroso creyente en la capacidad emancipadora del pensamiento, nunca dejó de cumplir con la tarea tribal de dar la batalla ante frentes que veía como peligros; el creacionismo, la sociobiología y el reduccionismo genético.
Con todo, es en cuanto escritor como yo quiero recordar a Gould, como el autor de algunas de las piezas más deslumbrantes de la prosa del siglo xx. Muy pocos científicos han alcanzado ese nivel, y casi todos son biólogos: Buffon, Bonnet, T. H. Huxley, Miroslav Holub y Lewis Thomas. Gould escribió un ensayo literario mensual para la revista Natural History durante veinte años y coló entre los espacios (!¡) muchos otros ensayos que repartió aquí y allá. Así fue construyendo sus conocidas colecciones de floridos títulos como El Pulgar del Panda o Dinosaurio en un Pajar. En casi todos sus ensayos se elige un fenómeno biológico singular o una anécdota histórica vívida, reveladores de algún aspecto inobservado de la vida, o de la ciencia. Con sutil pedagogía, y un estilo grácil, casi todos ellos terminan a tiempo, sin abrumar al lector y sin alisarle el asombro. Aunque Gould le es fiel a sus cariños más profundos (los dinosaurios, Darwin, el razonamiento estadístico, Joe Di Maggio), el abanico de temas que toca en sus recorridos no podría enumerarse, y hay algo semejante a un juego de sorpresas en las asociaciones, inesperadas pero siempre relevantes, que este autor consigue entablar. Hay claro piezas menores, donde el esfuerzo se nota. Pero el día que se haga la selección de los mejores ensayos de Gould un clásico permanente habrá nacido. Quizá alguno de sus primeros y más frescos libros ya aspiran a esa condición.
Gould comenzó y terminó su carrera editorial con dos grandes obras evolucionistas. Ontogenia y Filogenia y La Estructura de la Teoría de la Evolución. Con ellas, y con algunos de sus mejores artículos y ensayos, apostó a dejar su marca en el mundo como un teórico importante. Si lo consiguió el tiempo decidirá. Pero por su magistral estilo, su aguda inteligencia, la intensidad de su pasión por la vida y por las ideas, así como con su pasmosa dedicación a su obra, ha consolidado una tradición; después de él, el ensayo científico no necesita vejigas de aire para flotar y competir en las mismas aguas que toda escritura de gran calado.
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Instituto de Investigaciones Filosóficas,
Universidad Nacional Autónoma de México.
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como citar este artículo → López Beltrán, Carlos. (2002). Necrológica de Stephen Jay Gould. Ciencias 67, julio-septiembre, 66-67. [En línea] |
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Nuestro patrimonio natural
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Protegiendo lo nuestro.
Manual para la gestión ambiental comunitaria, uso y conservación
de la biodiversidad de los campesinos indígenas de América Latina
Eckart Boege, Porfirio Encino y Gustavo Ramírez
pnuma / ini / Fondo para el Desarrollo
de los Pueblos Indígenas de América
Latina y el Caribe.
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La conservación y el manejo razonable de la biodiversidad se han convertido en una condición para alcanzar los objetivos del desarrollo sustentable. Sin embargo, los bosques y las selvas tropicales, así como los ecosistemas en los que ha evolucionado y se reproduce esta biodiversidad, no solamente constituyen reservas naturales, sino que también son territorios habitados por diversas culturas donde han configurado sus estilos étnicos de desarrollo aprovechando y transformando sus riquezas naturales.
La participación de la población local en la gestión de los recursos naturales se ha legitimado y legislado en los últimos años, al ser reconocida por organismos nacionales como una condición para dar eficacia a las políticas ambientales, y como un derecho de los pueblos para beneficiarse de su patrimonio de recursos naturales. A partir de Río 92 y de la puesta en operación de la Convención sobre Diversidad Biológica, varios proyectos de conservación de la biodiversidad se han desarrollado con la participación directa de las comunidades que habitan estas zonas.
No obstante lo anterior, la capacitación de las comunidades para la conservación y el manejo sustentable de los recursos de la biodiversidad continúa siendo una necesidad fundamental para alcanzar los objetivos de sustentabilidad y equidad, para lograr que las propias comunidades generen una capacidad de autogestión y cogestión, así como para la protección de sus recursos en beneficio propio y de la humanidad en su conjunto. La capacitación comunitaria cobra aún más importancia ante el propósito de recuperar y actualizar prácticas tradicionales de uso de los recursos, pero también ante la necesidad de renovar dichas prácticas en el contexto de los cambios globales de nuestro tiempo, de articularlas con las políticas ambientales y de enriquecerlas mediante una apropiación cultural de los potenciales de la ciencia y la tecnología moderna.
Este manual está concebido como material básico para un proyecto de capacitación comunitaria, para la conservación y el manejo sustentable de la biodiversidad y de los bosques de los países de América Latina y el Caribe.
De esta manera, se busca contribuir al desarrollo sustentable de la región; a un desarrollo que preserve las riquezas naturales de nuestros países por medio de una amplia participación social, que reconozca e impulse la riqueza y diversidad cultural de los pueblos de América Latina y el Caribe.
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como citar este artículo → Boege, Eckart y Encino Porfirio, Ramírez Gustavo. (2002). Nuestro patrimonio natural. Ciencias 67, julio-septiembre, 78. [En línea] |
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Nuevos paradigmas y fronteras en ecología
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La comunidad científica mexicana debería elaborar un verdadero programa de investigación de manera interdisciplinaria, con metas a distintos plazos, que permita contribuir al conocimiento científico así como construir una línea propia de investigación ecológica sustentable del país. | ||
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Ken Oyama
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Una de las cosas más fascinantes de la ciencia es su constante cambio en los conceptos, ideas, métodos y teorías. El incesante surgimiento de nuevas preguntas funciona como motor de la ciencia. En ocasiones éstas no pueden responderse al interior de los marcos teóricos y metodológicos existentes, por lo que se requieren algunos cambios. En estos casos, después de haber revisado las teorías y los métodos existentes, se elaboran nuevos marcos conceptuales que permitan ubicar estas nuevas interrogantes. Para lograrlo, se inicia la acumulación de nuevas evidencias obtenidas con nuevos métodos; emergen nuevos patrones, se construyen nuevos modelos y se plantean cambios en las teorías. Es así como se dan las condiciones para el desarrollo de los llamados paradigmas —cada uno de ellos con sus propias bases teóricas, científicas y filosóficas.
Las reuniones científicas, la publicación de artículos y libros científicos clave, y la fundación de nuevas sociedades científicas, constituyen el abanico de expresiones en el cual es posible detectar el surgimiento de los escenarios en que se desarrollan los nuevos paradigmas.
A mi parecer, este proceso no ocurre de manera simultánea. En la dinámica actual de la ciencia es difícil establecer cuándo el grado de desarrollo de una idea, un marco conceptual, o una síntesis de conocimientos ha alcanzado un grado de madurez tal, que amerite considerarlo como un nuevo paradigma. La delimitación exacta de los alcances de la ciencia no está definida en un libro de texto o por un científico. El alcance de los consensos no siempre es uniforme en la comunidad científica. Diferentes historias, políticas e intereses entran en juego, y es en esta matriz social, determinada bajo una serie de situaciones particulares, en donde se inician las modificaciones de las teorías que eventualmente pueden llegar a sustituir a los paradigmas dominantes.
Una de las preocupaciones de los filósofos e historiadores de la ciencia es, justamente, explicar cómo se generan los nuevos paradigmas y cómo son sustituidos. Existen varias posturas interesantes al respecto. Sin embargo, partimos del hecho de que en la ciencia, al acumularse un conjunto de soluciones científicas, se generan constantemente nuevos paradigmas, que se sintetizan en un marco teórico y que a su vez alcanzan un consenso sobre su validez en la comunidad científica.
Es posible realizar un análisis retrospectivo y delimitar el surgimiento, desarrollo y culminación de una teoría en particular. En la biología, por ejemplo, la teoría sintética de la evolución —una de las más importantes del siglo xx—, generó un paradigma al sustituir las ideas previas y marcar las rutas de investigación en muchos campos de las ciencias naturales. La teoría neutra de la evolución molecular constituye un caso más reciente, en el que el planteamiento de una nueva hipótesis, con una nueva explicación de la teoría misma de la evolución biológica, se ha establecido como un nuevo paradigma.
En síntesis, el quehacer científico constituye una actividad humana sumamente dinámica, que cambia constantemente e incorpora la mayor cantidad de conocimientos para explicar los fenómenos que ocurren en la naturaleza, sus procesos y patrones, sus mecanismos, sus concatenaciones y su complejidad.
En la actualidad se habla de una crisis ambiental sin precedentes, que pone en riesgo la existencia misma de la vida sobre el planeta. Hay una preocupación legítima por la salud ambiental de los ecosistemas y su destino, y se pregunta a los científicos sobre el futuro de la vida en la Tierra, sus predicciones y tendencias. Así, se habla sobre ecología, una y otra vez, muchas veces sin entender plenamente su significado. En este contexto, la ecología, como rama de la ciencia que estudia la interacción de los organismos con su ambiente, ha sufrido una serie de transformaciones conceptuales y metodológicas sin precedentes.
Los nuevos paradigmas y las fronteras de investigación en ecología se pueden ubicar, en primer lugar, en el hecho de que muchos de los problemas irresueltos en la investigación ecológica se intentan resolver combinando conceptos y métodos que provienen de diferentes disciplinas (existe una fuerte tendencia a la multi e interdisciplina). En segundo lugar, el reconocimiento de los sistemas naturales organizados en niveles dentro de un sistema jerárquico ha permitido distinguir los procesos ecológicos propios de cada nivel y su relación con otros niveles (la transescalaridad de los fenómenos ecológicos es una parte de esta teoría de las jerarquías). Y en tercer lugar, el análisis de los sistemas complejos, como una forma más precisa de estudiar los sistemas naturales, reconociendo que éstos no son siempre lineales que poseen múltiples estados de equilibrio, presentan mecanismos de autorregulación que no son predecibles ni reversibles, y cuyos procesos ocurren a distintas escalas. La necesidad de estudiar los sistemas naturales como sistemas complejos no es nueva, pero existe una nueva formalización en sus conceptos, teorías y aplicaciones.
Además, en el campo de la ecología existe una fuerte tendencia a considerar que los sistemas naturales no son completamente independientes de los sistemas sociales. El análisis de la influencia de las distintas actividades humanas en los sistemas naturales indica que la interacción sociedad-naturaleza presenta nuevas propiedades emergentes que deben ubicarse bajo nuevos paradigmas.
Estos cambios en la conceptualización de un sistema natural no son necesariamente nuevos, aunque el reconocimiento de los sistemas ecológico-sociales sí nos conduce, tanto a una nueva síntesis en la teoría ecológica como a nuevas agendas de investigación para solucionar los problemas de la llamada crisis ambiental.
Las nuevas disciplinas
Una revisión de la literatura ecológica de los últimos diez años nos indica que han surgido nuevas disciplinas relacionadas con la ecología. Esto es realmente sorprendente, si consideramos que hace unos veinticinco años sólo se hablaba de escasas disciplinas, como ecofisiología, ecología-genética, ecología del comportamiento, ecología evolutiva o ecología humana.
En la actualidad podemos reconocer dos grandes grupos de disciplinas. Por un lado, la ecología relacionada con otras disciplinas de la biología, como la ecología molecular, ecología funcional, ecología histórica, ecología comparativa, macroecología, ecología del paisaje, ecogeografía, ecología global, etcétera. Por el otro, con disciplinas sociales como la economía ecológica, etnoecología, ecología urbana, ecología industrial, etcétera. Y finalmente, el papel de la ciencia de la ecología en los temas de manejo de ecosistemas y sus recursos, en donde distintas disciplinas sustentan la teoría de la conservación, restauración, el control y el aprovechamiento de los recursos naturales.
Este panorama nos indica que el desarrollo de la ecología ha sido un pivote sobre el cual se han generado nuevos campos, tratando de plantear nuevos problemas de investigación y la solución de aquellos que afectan seriamente a la humanidad, generando nuevas disciplinas en este fin de milenio.
Ecología molecular
El desarrollo y aplicación de métodos y teorías de la biología molecular a la ecología ha generado un nuevo enfoque de investigación, y sintetiza adecuadamente la emergencia de nuevas explicaciones a preguntas pendientes en la ecología. La aplicación de las herramientas conocidas como marcadores moleculares y los nuevos métodos de análisis genealógico y filogenético han constituido, en conjunto, un nuevo enfoque de investigación que ha revolucionado las ideas predominantes en subdisciplinas tan importantes como la ecología evolutiva y la ecología del comportamiento. La amplitud y el tipo de problemas que pueden ser atacados por esta combinación de áreas son múltiples, ya que van desde el descubrimiento de las bases genético-moleculares de caracteres morfológicos y funcionales, hasta la reconstrucción histórica de linajes evolutivos.
En menos de una década, algunos de los temas de la ecología molecular han sufrido modificaciones importantes en su interpretación, e incluso se preveen cambios importantes en sus respectivos marcos teóricos. Con el uso de los marcadores moleculares se han logrado detectar patrones distintos a los observados previamente en problemas como la caracterización de la individualidad en especies con sistemas de reproducción combinados, la estructuración espacial de su diversidad genética, el flujo de genes, la determinación de los patrones de paternidad múltiple, los procesos de selección sexual, los procesos de especiación como la hibridación y la introgresión, la genealogía de haplotipos y su distribución geográfica, etcétera.
La ecología de las poblaciones
Una de las vertientes clásicas de la ecología es el estudio de las poblaciones. La mayoría de los modelos aceptados en ecología hacen referencia al comportamiento de las poblaciones y a sus interacciones. Los modelos de crecimiento poblacional de interacciones (depredador-presa, competencia, mutualismos, etcétera) han dominado el ámbito de la ecología de las poblaciones. Este desarrollo ha sido tal, que algunos autores consideran que esta disciplina ya ha alcanzado a resolver sus problemas más importantes.
A nivel poblacional se han acumulado tantas evidencias, que existe una base de datos sobre la dinámica de más de mil ochocientas especies de animales. A esta información se le conoce como la “Base de datos de la dinámica poblacional global” e incluye más de cuatro mil quinientos registros de la abundancia de las poblaciones de diferentes grupos taxonómicos a lo largo del tiempo y en el mundo. Esto brinda, por primera vez en la historia, una excelente oportunidad para analizar y encontrar patrones ecológicos de la dinámica de las poblaciones animales.
Los estudios sobre las interacciones de las especies se enfocaron durante mucho tiempo a entender la dinámica de una interacción en una localidad. Los modelos de coevolución que se produjeron a partir de estos estudios fueron muy aceptados en la teoría ecológica. Sin embargo, el surgimiento de las hipótesis de la especialización local y del mosaico geográfico de las interacciones, las cuales incorporaron la heterogeneidad ambiental espacial, el contexto geográfico y las interacciones múltiples, rompieron con la idea de las presiones selectivas recíprocas de los interactuantes y pusieron en cuestionamiento la teoría de coevolución estricta. En la actualidad, se acepta la hipótesis de la coevolución difusa como la más plausible para explicar las interacciones antagónicas y mutualísticas de las especies.
Otra de las nuevas líneas de la ecología de las poblaciones es el estudio de las metapoblaciones, es decir, de conjuntos de poblaciones. El contexto del paisaje incorpora este enfoque a su análisis, para lo cual se integran dos niveles de organización, una escala espacial regional que se extiende a la dinámica de la interacción de los componentes no sólo de tipo demográfico, sino de la conectividad a través de tasas de dispersión y flujo de genes entre poblaciones.
Estos tres casos ilustran cómo el análisis de las poblaciones en otras dimensiones y con otros enfoques sentarán nuevos paradigmas en uno de los campos clásicos de la ecología.
El funcionamiento de las comunidades y los ecosistemas
La visión holista e integradora de la ecología contemporánea ha resaltado la necesidad de enfocar las investigaciones desde otra perspectiva. Un ejemplo son las investigaciones de las interacciones bióticas, que pretenden entender la dinámica de la matriz que éstas constituyen en una comunidad. Los modelos de dos especies sólo sirven como un marco de referencia, ya que al incluir más, la dinámica y los resultados de las interacciones cambian cualitativamente. Los efectos de las causalidades ascendentes y descendentes de interacciones de distintos grupos taxonómicos ubicados en distintos niveles tróficos, ilustran claramente que las relaciones entre las especies no son lineales. La diversidad de interacciones tiene una influencia muy importante en la estabilidad, la capacidad homeostática y la resiliencia de las comunidades naturales. Ante una alteración en un ecosistema, como la extinción de una especie o un evento episódico ambiental, la respuesta de éste depende de la compensación que se pueda llevar a cabo en las funciones esenciales del mismo. Parte de estas funciones las desempeñan las interacciones de los componentes del ecosistema. La comprensión de esta problemática permitirá entender el papel de los grupos funcionales, los gremios ecológicos, los procesos de colonización y extinción de las especies, el papel de las especies clave y la capacidad de recuperación de los ecosistemas.
Los componentes no descubiertos de las comunidades
En muchas ocasiones, la investigación científica presenta sesgos, ya sea por el interés particular de la comunidad de científicos que desean entender ciertos fenómenos, por las limitaciones tecnológicas que impiden el estudio de algunos componentes, o simplemente porque existen serios prejuicios y se investiga sólo para constatar las ideas predominantes.
Este es el caso de los componentes de las comunidades que no han sido estudiadas con la misma intensidad: el suelo y el dosel.
El análisis ecológico del suelo ha recibido mucha atención por la importancia agrícola y la necesidad de producción de alimentos para el mantenimiento de la vida humana. Constantemente se escucha la existencia de problemas como la erosión del suelo, el agotamiento de nutrimentos en suelos de cultivo, etcétera. Sin embargo, en los sistemas naturales terrestres todavía no se descubre, cabalmante, la riqueza biológica ni se han documentado las funciones ecológicas de los elementos del mismo. Se dice que existen millones de organismos, desde bacterias hasta vertebrados, que constituyen y funcionan como un ecosistema sumamente complejo.
El otro componente es el dosel, el cual puede albergar miles de individuos y cientos de especies en un sólo árbol tropical. La relevancia de su estudio radica en que muchos de los procesos ecológicos fundamentales ocurren en esta capa. La ecología de las epífitas (orquídeas, bromelias, etcétera), de las lianas y plantas trepadoras, los análisis fenológicos, de polinización, de acumulación de biomasa, fotosíntesis, etcétera, se ubican en el dosel. Al igual que el suelo, éste cumple funciones muy importantes en los sistemas naturales, como la regulación de los ciclos biogeoquímicos, las modificaciones en el ciclo hidrológico, la renovación de nutrimentos, la descomposición de desechos, la regulación de poblaciones, de plantas y animales, entre otros.
La ecología global
Las diferentes problemáticas ambientales que se han identificado a nivel global se deben al desarrollo de modelos y métodos como la informática, la percepción remota y los sistemas de información geográfica. Esta trilogía ha demostrado un planeta en dimensiones no descritas con anterioridad ni con tanta precisión y claridad. Los efectos de los procesos regionales o globales sobre los locales han resultado ser muy importantes. La dinámica del flujo de nutrimentos o minerales no se puede estudiar como un sistema cerrado, ya que el impacto de fenómenos metereológicos a nivel global rompe con la dinámica de los componentes de un ecosistema.
Se habla entonces de la ecología global, ya que procesos que ocurren en una región pueden tener influencia en otras, como es el caso de los efectos del cambio climático y todos sus fenómenos asociados. Muchos fenómenos catastróficos para el ser humano como los huracanes y ciclones son eventos raros, pero pueden predecirse con cierta certidumbre si son estudiados a escala global y a largo plazo.
En términos de los problemas de la conservación biológica ha sido posible hacer estimaciones de las tasas de deforestación en diferentes partes del planeta. Los estudios de biodiversidad a nivel mundial permiten detectar las zonas de prioridad para su conservación, ya no sólo en benficio de un país o región, sino de toda la humanidad. Las predicciones sobre los escenarios futuros no podrían realizarse sin tener este panorama global de salud de los ecosistemas.
En busca de procesos y patrones
La Macroecología
Algunos ecólogos han identificado la necesidad de incluir escalas espaciales y temporales de mayores dimensiones, y de integrar los avances de disciplinas como la biogeografía, paleobiología y sistemática para descubrir los patrones que ocurren en la naturaleza. Este enfoque pone más énfasis en el análisis de los patrones estadísticos que en las manipulaciones experimentales. En su concepción filosófica rechaza los enfoques reduccionistas y busca estudiar los patrones y procesos emergentes y la extensión de su aplicación a nivel geográfico. Considera los sistemas complejos como objetos de estudio y esto, a su vez, determina las características de sus programas de investigación, en donde las comunidades y su ensamblaje de organismos definidos, tanto por su identidad taxonómica como por su similitud ecológica, son usados en estudios macroecológicos. El objeto de estudio puede ser un grupo funcional, un gremio ecológico, grupos de formas de vida o linajes evolutivos. Las escalas son regionales y globales y los periodos que se consideran van desde décadas hasta millones de años. Incluye, por tanto, los componentes de la historia evolutiva de los grupos taxonómicos involucrados.
Curiosamente, la macroecología pretende contestar preguntas científicas básicas de la ecología, como la abundancia, distribución y diversidad de las especies, en la búsqueda de los procesos que producen patrones y que no pueden ser obtenidos utilizando un enfoque experimental. Intenta así buscar la síntesis de los procesos a diferentes niveles de organización, desde los individuos hasta las comunidades y biotas regionales, de los procesos y patrones a diferentes escalas temporales y espaciales, y pretende generar una teoría que sintetice disciplinas tan disímiles como la ecología, la biogeografía, la sistemática, la macroevolución y las ciencias de la Tierra. Además, pretende conjuntar teorías y enfoques de la teoría de las jerarquías, así como de sistemas complejos y evolutivos. Sin duda, la macroecología pretende cubrir una meta muy ambiciosa, aunque cabe señalar que muchos de sus planteamientos son viejas propuestas teóricas y metodológicas ahora cubiertas por una sombrilla llamada macroecología. El énfasis de las escalas espaciales y temporales, por ejemplo, no es exclusivo de los enfoques macroecológicos, sino que es un común denominador de los nuevos enfoques de investigación en ecología.
Las escalas espaciales y temporales
La ubicación de los sistemas naturales en el espacio y de los procesos biológicos en unidades organizadas jerárquicamente, nos obliga a disectar los procesos ecológicos en cada una de estas escalas. Se ha demostrado que los sistemas naturales presentan variaciones temporales que sólo pueden ser detectadas en estudios a largo plazo. En este sentido, existe una red mundial de grupos de investigación (Long-Term Ecological Research) en donde se ha planteado realizar estudios comparativos ubicando el análisis en escalas temporales de varios años.
Estos estudios incluyen el monitoreo de múltiples parámetros físicos asociados a los procesos biogeoquímicos y a los regímenes climáticos, la observación de interacciones bióticas de las especies y el seguimiento de poblaciones de especies que intervienen en la formación de redes de relaciones que afectan a otros componentes de los ecosistemas. Además, incluyen manipulaciones experimentales de diversos componentes para tratar de conocer el papel de las especies clave en el mantenimiento de la diversidad biológica y sus consecuencias ecosistémicas. La remoción continua de especies clave, de grupos de especies funcionales o gremios ecológicos ha permitido, por ejemplo, entender mejor la dinámica de los sistemas naturales complejos.
La pregunta que surge es, ¿qué tipo de cambios importantes se han producido en la teoría ecológica al incorporar las dimensiones de las escalas espaciales y temporales? En el caso de la dinámica de las poblaciones y la composición de especies de una comunidad —teórica y experimentalmente— se ha demostrado que están determinadas por la limitación de recursos en el sistema y la competencia interespecífica. La predicción es que en condiciones de recursos limitados, causadas por bajas precipitaciones, por ejemplo, la abundancia y la distribución de las especies se verán afectadas negativamente. Sin embargo, al tratar de probar esta hipótesis en sistemas naturales más extensos y bajo periodos de observación más largos, se ha encontrado que los regímenes de precipitación son variables en el tiempo y presentan relaciones que no son lineales, que no siguen directamente con las fluctuaciones poblacionales. En la regulación de las poblaciones intervienen otros factores como la depredación y el almacenamiento de recursos. Además, las interacciones aparentemente indirectas pueden desencadenar efectos en cascada impredecibles y con mayores consecuencias, dada la compleja matriz de interacciones de grupos taxonómicos que forman parte de una comunidad determinada.
En estudios de largo plazo se puede observar cómo los cambios en el comportamiento de ciertos organismos están ligados a fenómenos globales como el cambio climático. Las oscilaciones en la precipitación pueden estar regulando la proporción de plantas que poseen distintas fisiologías para la absorción de carbono y, esto a su vez, puede tener repercusiones en los cambios numéricos de las poblaciones que dependen de estas especies, como es el caso de herbívoros y polinizadores. Los cambios de temperatura pueden afectar severamente a las poblaciones e incluso ocasionar extinciones locales de especies. El análisis en este contexto temporal y espacial es lo que permite detectar patrones que ocurren a nivel planetario.
Los determinantes históricos de las comunidades
Uno de los problemas más importantes en la ecología de las comunidades es la explicación del origen y el mantenimiento de la diversidad biológica que compone a una comunidad determinada. En años recientes se ha planteado la necesidad de entender tres elementos históricos: el origen del lugar, del linaje y de los procesos macroevolutivos.
Se parte de la idea de que el componente histórico no sólo es el escenario en el cual ocurren los fenómenos ecológicos, sino que proporciona argumentos para explicar dichos procesos. En estos análisis, por medio de la incorporación de investigaciones paleontológicas y paleoecológicas, se pretende reconstruir el origen de los lugares en donde pudieron existir los organismos. Conocer la historia de los linajes evolutivos de los grupos taxonómicos que componen una comunidad contemporánea por medio del establecimiento de hipótesis filogenéticas y geneaológicas es muy relevante, ya que en gran medida el funcionamiento de los gremios ecológicos y la explicación de la composición de las comunidades naturales se debe al origen de éstos. Finalmente, algo que parecía imposible hace algunas décadas es posible en la actualidad gracias a la aplicación de hipótesis macroevolutivas, entre las cuales se encuentra la selección de especies o las tasas diferenciales en su formación, y la extinción de los grupos taxonómicos en investigaciones ecológicas.
Sin duda, el conocimiento de los determinantes históricos de los sistemas naturales nos eleva a una dimensión evolutiva en las explicaciones ecológicas. Hace ya tres décadas, un famoso ecólogo teórico se planteaba la pregunta, ¿cómo evolucionan los ecosistemas? Pero pocos científicos se atrevían a elaborar una argumentación, ya que se veían grandes brechas teóricas y sobre todo metodológicas. Hoy en día, estamos cerca de elaborar marcos conceptuales para responderla.
¿Sistemas ecológico-económico-sociales?
En los análisis de los sistemas naturales existe cada vez más la tendencia a reconocer que los ecosistemas están constituidos por dos componentes: los biológicos y los sociales. La existencia, el funcionamiento y el mantenimiento de los sistemas naturales no pueden explicarse sin tomar en cuenta la influencia del hombre y su amplia gama de actividades (tanto actual como histórica). Sin embargo, el análisis de los sistemas naturales se complica al incorporar al hombre, ya que se incrementa el grado de impredecibildad. El estudio de la relación entre sistemas naturales y sistemas sociales es conocido como ecología humana. En la actualidad se reconocen interacciones de la ecología, la antropología, la política, la economía, la historia, la sociología, y la arquitectura, entre otras.
Las interacciones hombre-naturaleza son sumamente variables y obedecen a otras leyes y a otra lógica. Es por esto que existe una fuerte reticencia tanto de científicos naturales como sociales a aceptar los sistemas integrados, ecológico-sociales. Sin embargo, se hace una serie de esfuerzos valiosos por tratar de desarrollar marcos conceptuales, modelos o simples planteamientos, integrando elementos ecológicos, económicos, sociales e incluso culturales.
La economía ecológica
Dentro de la teoría económica ha surgido una fuerte escuela de pensamiento que intenta inscribir un nuevo modelo de desarrollo humano que no esté basado exclusivamente en la economía de mercado. A este nuevo modelo se le ha denominado económico-ecológico y constituye una propuesta muy atrevida, ya que cuestiona profundamente los modelos de desarrollo de las sociedades capitalistas contemporáneas, incorporando el capital social y cultural en adición al capital humano y natural. Parte de la inexistencia de una sustitución perfecta entre el capital natural y el humano, y de la importancia que tiene la consideración de los límites que impone el uso de energía y recursos naturales, así como de sus desperdicios, por lo que es uno de los nuevos paradigmas de los sistemas ecológico-sociales.
En este nuevo modelo de desarrollo se generan complejas relaciones de propiedad, ya que se tiene que hacer compatible la propiedad privada individual con los bienes de propiedad común, como puede ser el caso de los bosques, selvas, mares y otros sistemas naturales. También se reconoce tanto la existencia de los bienes y servicios ecológicos que los ecosistemas y sus recursos proveen, como la necesidad de la satisfacción individual y comunitaria (sin causar un daño irreversible al capital natural).
La investigación en esta área se concentra propiamente en líneas como la economía de los recursos naturales, la economía ambiental y la economía ecológica.
El desarrollo sustentable, ¿paradigma o utopía?
El paradigma actual de los sistemas ecológicos-sociales es por excelencia el del desarrollo sustentable. El reconocimiento de que vivimos una crisis ambiental con fuertes repercusiones que hacen peligrar la existencia del planeta mismo ha generado la necesidad de establecer una sociedad sustentable en términos ambientales, sociales y económicos. Existen varias definiciones de desarrollo sustentable, pero todas se acercan a la consideración de un desarrollo que satisfaga las necesidades presentes sin comprometer las necesidades de generaciones futuras, y que mantenga los procesos ecológicos esenciales y los sistemas que soportan la vida, así como sus recursos genéticos y el aseguramiento de la utilización de las especies y ecosistemas.
Es importante recalcar que el tema del desarrollo sustentable ha generado una gran discusión. Para algunos autores es una utopía alcanzar dicho desarrollo, porque los modelos obedecen a las leyes de mercado y éstas rara vez han sido compatibles con la conservación de los ecosistemas y sus recursos. En las economías capitalistas ha existido una fuerte tendencia a la explotación secuencial del capital natural sin ningún criterio de tipo sustentable. La incorporación de un criterio ecológico a la sustentabilidad genera nuevos imperativos que no pueden ser resueltos bajo la lógica del mercado, ya que se requiere una nueva visión del manejo de los sistemas naturales y una nueva actitud. Se dice que más que una meta, el desarrollo sustentable es un proceso, en donde las experiencias humanas diarias deben incorporarse para crear nuevos sistemas. En esta lógica se puede insertar no sólo una nueva agenda de investigación, sino una nueva posición.
Nuevas agendas de investigación
Distintas organizaciones y sociedades científicas en el mundo han definido nuevas agendas de investigación como resultado de su preocupación por resolver los grandes problemas ambientales que aquejan a la humanidad. Hace casi una década, la Sociedad Americana de Ecología propuso una agenda llamada “Iniciativa de una biósfera sustentable”, en donde se presentan las necesidades de investigación científica para un manejo inteligente de los recursos de la Tierra y el mantenimiento de los sistemas que soportan la vida.
Las prioridades de la investigación se concentran en tres puntos: el cambio climático, la diversidad biológica y los sistemas ecológicos sustentables. En cada uno de ellos se presentan las preguntas de frontera y los problemas más relevantes que hace falta investigar. Una muestra de los temas a trabajar son: 1) las causas y consecuencias del cambio climático global, su influencia en procesos ecológicos clave de los ecosistemas y en la diversidad biológica; 2) las consecuencias ecológicas de la degradación de los sistemas naturales, sus límites y capacidad de recuperación; 3) las consecuencias evolutivas de los cambios ambientales y antropogénicos; 4) los cambios en la diversidad biológica y sus consecuencias en la estabilidad y resiliencia de los ecosistemas; 5) el conocimiento de los patrones de diversidad a nivel mundial, incluyendo las especies con distintos niveles de vulnerabildad y rareza; 6) la investigación de los procesos de restauración ecológica y los indicadores de las respuestas de los ecosistemas a perturbaciones y estrés; 7) la comprensión y aplicación de los principios para establecer sistemas ecológicos manejables; y 8) la determinación de los principios que provocan enfermedades y los mecanismos de dispersión de los vectores de estas epidemias.
En agendas como la de la conservación de la biodiversidad se establecen regiones prioritarias a nivel mundial, como los denominados “focos rojos de diversidad”, con el fin de priorizar la conservación de especies endémicas y detener la destrucción de ecosistemas naturales. Otras tienden más bien a realizar un diagnóstico sobre la salud ambiental del planeta por medio de programas financiados por la Naciones Unidas para conocer el estado de los ecosistemas naturales del mundo.
Estas agendas y programas de investigación son interesantes y generan una serie de preguntas realistas para avanzar no sólo en el entendimiento de los procesos ecológicos, sino en cómo éstos pueden servir para coadyuvar a preservar, manejar y construir los sistemas naturales.
La comunidad científica mexicana debería elaborar una agenda que sirva para delinear la investigación científica ecológica del país. Esto no debe confundirse con las agendas gubernamentales o con los discursos de políticos y funcionarios científicos, sino con un verdadero programa de investigación elaborado por grupos interdisciplinarios con metas a distintos plazos, que nos permita no sólo contribuir al conocimiento científico, sino construir una línea propia de investigación ecológica sustentable del país.
Hacia una nueva ecología
A lo largo de la historia de la Tierra han ocurrido muchos eventos catastróficos de diferente magnitud, que van desde la tectónica de placas y la conformación de los continentes hasta cambios climáticos regionales, durante los cuales se han extinguido millones de especies. Sin embargo, en años recientes muchos de los ecosistemas se han visto alterados y miles de especies han desaparecido a causa de las actividades humanas. Para poder entender, controlar y predecir estos cambios en los sistemas naturales, las investigaciones ecológicas básicas son fundamentales. Asimismo, es importante resaltar la necesidad de adoptar una posición académica, filosófica y política sobre la naturaleza de los sistemas ecológicos-sociales. El avance de la investigación en ambas direcciones nos permitirá ir construyendo no sólo una nueva teoría científica de la ecología, sino la elaboración de políticas para la solución de los problemas ambientales.
Para que realmente se alcance el desarrollo de sistemas sustentables en sus dimensiones ecológicas, sociales y políticas, esta “nueva ecología” deberá de permear a todos aquellos que tengan poder de decisión en diferentes ámbitos, ya que no se puede alcanzar del desarrollo sustentable con los niveles de desigualdad e injusticia que prevalecen bajo los actuales modelos de desarrollo económico. Es imposible el alcance, la preservación y el manejo de los ecosistemas naturales de manera sustentable sin que existan políticas universales y nuevos modelos de desarrollo económico y social. Sin la existencia de una nueva cultura, una nueva ética y una nueva actitud hacia los problemas esenciales de la convivencia humana no será posible alcanzar un buen estado ambiental. No podemos continuar ignorando la relevancia de los problemas ecológicos ante el grave deterioro de la calidad de vida de la humanidad.
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Un vistazo a la teoría de gráficas
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Las gráficas son objetos sumamente vérsatiles. Su gran desarrollo tiene que ver con las brillantes incursiones que hicieron en otras áreas del conocimiento humano, aunque definitivamente sus principales aplicaciones se encuentran en las ciencias de la computación. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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Gabriela Araujo Pardo y Pilar Valencia Saravia
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¿Cómo concibe la mayoría de la gente a las matemáticas? Parece que ésta no es una pregunta sencilla y tiene muchas posibles respuestas. Para los matemáticos, por ejemplo, no sólo son útiles, sino fundamentalmente amenas, interesantes y absolutamente bellas. Quienes se dedican al estudio de otras disciplinas científicas saben que con ellas se puede entender el Universo. Los sucesos físicos, químicos o biológicos que nos rodean, e incluso los económicos y sociales, pueden ser explicados por el lenguaje matemático. Las matemáticas nos han facilitado la creación de mapas y la navegación, la construcción y la perspectiva en el arte, la radio, la televisión, el teléfono, la computadora, en fin, la lista es inacabable, pero aunque la mayor parte de las personas reconoce que son una herramienta útil para “resolver problemas” de la vida común, cuando oyen hablar de ellas casi siempre recuerdan algún tipo de experiencia desagradable.
Digamos entonces que si bien no es tan fácil advertir su belleza, al menos sí son célebremente distinguidas por su utilidad en la resolución de problemas. Y es que ésta es una de sus características primordiales: su versatilidad. Cuando encontramos un problema de la “vida real”, siempre podemos hacer de él una descripción o un modelo matemático. Aunque, siendo francos, lo más común es que encontrar este modelo sea en sí mismo un obstáculo, a veces tan o más complicado que el problema mismo.
En este sentido, desde tiempos lejanos el ser humano ha recurrido de un modo muy natural al uso de las gráficas para tratar de representar problemas o situaciones de su entorno. Así, por ejemplo, hemos usado gráficas para indicar en un mapa las rutas de acceso entre ciertas ciudades o poblados, o para señalar accesos comerciales o de comunicación entre ellos; las usamos al dibujar e identificar las constelaciones en la esfera celeste o cuando representamos nuestras relaciones familiares en un árbol genealógico; hacemos gráficas también para establecer las jerarquías en la estructura de una empresa o de cualquier organismo en el que se pueda identificar un orden, como el gobierno o el ejército. De hecho, es casi seguro que toda persona haya dibujado gráficas alguna vez en su vida. Cualquier sistema que involucre una cierta colección de objetos y alguna “regla” que relacione parejas de los mismos puede ser representado mediante una gráfica.
La rama de las matemáticas que estudia estos objetos se conoce como teoría de gráficas, y surgió en el siglo xviii, época en que los matemáticos veían en las gráficas un simple divertimento. Es por eso que no resulta sorprendente que gran parte de los resultados obtenidos inicialmente en esta área hayan surgido a partir de acertijos y pasatiempos. Fue hasta la última mitad del siglo pasado cuando el interés por la teoría de gráficas se incrementó notablemente. Desde luego, las razones de tal fenómeno son muchas, aunque otra vez su versatilidad parece ser determinante: se ha encontrado una enorme diversidad de aplicaciones de la teoría de gráficas en muchas áreas del conocimiento. Así, la vemos haciendo aportaciones en biología, ingeniería civil, arquitectura, genética, economía, antropología, lingüística, química, física, economía y, por supuesto, en otras áreas de las matemáticas.
Y a todo esto, ¿qué es una gráfica? Como objeto matemático, una gráfica es un par de conjuntos; el primero de ellos no puede estar vacío y a sus elementos les llamamos vértices; el otro está formado por “parejas” de vértices, las cuales son denominadas aristas. Representar una gráfica mediante un dibujo en papel o en un pizarrón es un procedimiento muy sencillo: únicamente ponemos puntos o pequeños circulitos para representar a cada uno de los vértices, y líneas o curvas entre las que forman una arista.
Sus usos son muy variados. Los químicos usan las gráficas para dibujar moléculas. En 1857 Cayley descubrió una importante clase de gráficas, llamadas árboles en la química orgánica y las usó para representar los isómeros de los hidrocarbonos saturados. De este modo Cayley descubrió cuántos isómeros (es decir cuántos árboles) existen para un número dado de átomos de carbono (figura 1).
Los físicos teóricos han utilizado las gráficas de múltiples maneras. Por ejemplo, en mecánica se utilizan gráficas en las que los vértices representan moléculas, y cuando dos de ellos son adyacentes indican algún tipo de interacción física, tal como repulsión o atracción magnética. De manera similar, Feynman usó gráficas en las que los vértices representan partículas físicas, y las aristas trayectorias de las mismas después de colisionar. Kirchhoff también hizo descubrimientos en la teoría de gráficas cuando intentaba resolver el sistema de ecuaciones lineales simultáneas obtenido por el paso de corriente en cada circuito de una red eléctrica. Así, abstrajo de la red eléctrica —con sus resistencias, condensadores, inductancias y demás—, una estructura consistente sólo de puntos y líneas sin indicar el tipo de elemento eléctrico que representaban. Mediante la “gráfica subyacente” a la red eléctrica, notó que el problema original podía ser resuelto más fácilmente sin considerar los ciclos que se formaban, utilizando lo que hoy conocemos como “árbol generador” (figura 2).
Las gráficas se utilizan al diseñar circuitos integrados impresos en chips de silicón, que son usados en dispositivos electrónicos —ésta es una de las aplicaciones más importantes de lo que conocemos como gráficas planas— que deben ser diseñados de tal modo que las porciones conductoras no se crucen entre sí (figura 3).
Actualmente, los psicólogos representan el “espacio vital” de un individuo mediante un mapa, el cual es asociado a una gráfica; de hecho las investigaciones acerca de las “dinámicas de grupo” utilizan con frecuencia gráficas en las que los vértices representan personas y las aristas algún tipo de relación interpersonal.
Las gráficas también han sido una útil herramienta en otras ramas de las matemáticas, como la teoría de grupos, el análisis numérico, la probabilidad, la topología, la combinatoria, la teoría de algoritmos y computación, y muy particularmente en lo que se refiere al estudio y representación de estructuras abstractas de datos. En el área conocida como investigación de operaciones, las gráficas juegan un papel relevante —ahí se les conoce como redes y casi siempre son dirigidas, es decir, a cada arista se le agrega “una flecha” que indica una dirección— y se utilizan principalmente para la planeación de actividades y el diseño de sistemas de comunicación o distribución de bienes y servicios.
Coloreando gráficas
Situémonos por un momento en nuestra última fiesta de fin de siglo: la noche del 31 de diciembre de 2000. Pensemos en el momento preciso de las doce campanadas y los abrazos de fin de año. ¿Podremos saber cuántos abrazos hubo esa noche en nuestra fiesta?, es decir, ¿cuántos hubo si sólo había en ella dos personas?, ¿cuántos si asistieron tres, cuatro o cinco?, ¿cuántos si asistieron n personas?
Probablemente contar el número de abrazos en cada caso resulte latoso, sin embargo, una gráfica puede simplificarnos el conteo (figura 4). Los vértices representan a los asistentes a la fiesta y cada arista indica un abrazo entre las personas que representan sus vértices. Hemos colocado todas las aristas posibles pues suponemos que hubo abrazos entre cualquier par de personas en la fiesta. Es evidente que el único abrazo no incluido es el de una persona a sí misma. Si sólo hubieran asistido dos personas, entonces habría habido un solo abrazo, si hubieran sido tres habrían sido tres los abrazos, si cuatro, entonces seis, etcétera. ¿Cómo contamos?, fácilmente: cada persona abraza a cualquier otra en la fiesta menos a sí misma y cada abrazo lo contamos dos veces (una por cada uno de los involucrados en el abrazo) entonces, si asisten n personas tenemos la fórmula abrazos entre n personas
A las gráficas que utilizamos aquí para representar este problema se les conoce como gráficas completas; en ellas todos los vértices están unidos entre sí por una arista, y si hay n vértices tenemos (n(n-1))/2 aristas. La gráfica completa de n vértices se denota como Kn.
Nos atrevemos ahora a afirmar lo siguiente: “Si a una reunión asisten seis personas, hay tres de ellas que se conocen entre sí o tres que no se conocen entre sí”. Traduciremos esta afirmación al lenguaje de la teoría de gráficas. En primer lugar, etiquetemos a cada una de las personas con un número del 1 al 6, y representémoslas con vértices. Pondremos entre dos vértices una línea negra si ellos representan a dos personas que se conocen y una línea verde si son desconocidas. En la figura 5, por ejemplo, la persona 1 conoce a las personas 2, 3, 4 y 5, y no conoce a la persona 6.
Mediante esta representación, obtenemos la gráfica completa con seis vértices, K6, cuyas aristas están coloreadas con dos colores. La “traducción” de nuestra afirmación inicial es lo que se conoce como el teorema de Ramsey: “Siempre que coloreamos las aristas de K6 con dos colores diferentes encontramos al menos un triángulo monocromático (es decir, un triángulo “de un solo color”).
Para nuestro ejemplo un triángulo negro indica tres personas que se conocen mutuamente y uno verde a tres que no se conocen.
La prueba o demostración de este teorema es muy sencilla: Elijamos un vértice cualquiera de la gráfica, supongamos que tal vértice es el 1. Éste tiene cinco vecinos: 2, 3, 4, 5 y 6, y de las cinco aristas que salen de él hay al menos tres que tienen el mismo color, digamos que ellas son 12, 13, 14 y que son negras. Si alguna de las aristas 23, 24 o 34 es negra, como la 23, entonces tenemos un triángulo monocromático negro, el formado por los vértices 1, 2 y 3 (figura 5a). Si, por el contrario, las tres son verdes tenemos un triángulo monocromático verde: el de los vértices 2, 3 y 4 (figura 5b).
Observemos que la demostración hubiera sido igual si las tres o más aristas del mismo color hubieran sido verdes; también pudimos haber escogido cualquier otro vértice en lugar del 1, pues todos tienen el mismo comportamiento, es decir, que nuestra gráfica es simétrica.
La demostración que dimos aquí del teorema de Ramsey es ejemplo de una estrategia muy común dentro de la teoría de gráficas, que es la coloración. En este caso coloreamos aristas, pero también se colorean vértices.
La coloración de gráficas ha sido estudiada desde muy diversos ángulos y con distintos propósitos. Se han obtenido grandes resultados por su relevancia matemática pero, sobre todo, sorprendentes por su belleza, por supuesto, desde una óptica matemática.
Hablaremos ahora de un famoso resultado conocido como el problema de los cuatro colores, y cuyo planteamiento como problema de gráficas tiene que ver con coloraciones de vértices. Fue planteado en 1852 y es conocido prácticamente por todos los matemáticos que han surgido desde entonces, la mayoría de los cuales —nos atrevemos a asegurar— han tratado de resolverlo. En los muchos intentos por solucionarlo han participado casi todas las ramas de las matemáticas, lo que ha propiciado la generación de una gran riqueza de conocimientos.
Recientemente, este problema ha sido abordado con amplitud, haciendo uso de computadoras y usando estrategias y programas que realizan cálculos durante aproximadamente mil horas.
Su planteamiento es realmente sencillo: cuatro colores son suficientes para colorear cualquier mapa plano con la condición de que cualquier par de regiones vecinas, es decir, con “frontera” común, tengan colores distintos, de acuerdo con lo cual, dos países del mismo color podrían compartir un punto o un número finito de puntos pero no una línea (un número infinito de puntos), que representa a la frontera entre ellos.
En los mapas que aparecen (figura 6) se muestra que los cuatro colores son necesarios para colorear un mapa en las condiciones dadas. La pregunta que hay que resolver es si para cualquier mapa estos cuatro colores son suficientes. Nuevamente traslademos este problema al contexto de la teoría de gráficas. Ahora representaremos a cada región del mapa con un vértice y habrá una arista entre dos vértices si las regiones a las que corresponden tienen frontera común. Así, las gráficas de la figura 7 corresponden a los mapas de la figura 6 a y b respectivamente.
Este problema nos permite introducir el concepto de gráficas planas, que son las que podemos dibujar en el plano, de modo que sus aristas no se crucen, salvo en sus vértices. Cuando decimos plano nos referimos a alguna superficie plana, una hoja, un cuaderno, un pizarrón, etcétera. Si una gráfica puede dibujarse de este modo, decimos que es plana (figura 8) o que tiene un dibujo plano (figura 9). Como a cualquier gráfica plana le corresponde un mapa sobre el plano, entonces el teorema de los cuatro colores afirmaría que son suficientes cuatro tonos para colorear los vértices de una gráfica plana con la condición de que dos vértices adyacentes no tengan el mismo color.
La banda de Möbius
Aunque la definición formal de gráfica resulta un poco “abstracta”, pues se establece en términos de conjuntos, la tendencia “natural”, cuando hablamos de gráficas, es pensarlas ya dibujadas en el plano como lo hemos hecho hasta ahora, con puntos que representen los vértices y líneas o curvas entre aquellos que formen una arista. Sin embargo, también podríamos haberlas pensado en otro tipo de superficies; por ejemplo, ¿cómo se vería alguna de las gráficas que hemos presentado dibujada en una esfera?, ¿o en una taza?, ¿o en la superficie de un poliedro?
Hay dos aspectos importantes que debemos resaltar. Primero, que cualquier dibujo de una gráfica es completamente independiente de la gráfica en sí misma, o sea, que éste no altera las propiedades de aquella, únicamente nos ayuda a estudiarla mejor. Cuando hablábamos un poco antes de las gráficas planas, por ejemplo, un dibujo adecuado nos permite decidir si ella es plana o no; si podemos encontrar un dibujo plano de una gráfica, entonces decimos que es plana. En segundo lugar, notemos que cualquier gráfica con un dibujo plano puede también dibujarse sin cruces en la superficie de una esfera. Por ejemplo, en la figura 10 mostramos los famosos sólidos platónicos: tetraedro, hexaedro o cubo, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Podemos pensarlos como poliedros, suponiéndolos huecos y tomando únicamente la superficie que forma sus “cáscaras”, o podemos imaginarlos como gráficas y aplanarlos como se muestra en la figura.
Éstas son unas de las gráficas planas más famosas que se han estudiado hasta ahora. Por supuesto existen también gráficas que no son planas, como K5, la gráfica completa de cinco vértices, que es el ejemplo más sencillo de este caso (figura 11). Sin embargo, pueden existir otras superficies donde sí sea posible dibujar una gráfica no plana sin que haya aristas que se crucen. Por ejemplo, para el caso de K5, la superficie de una dona, conocida también como toro, es ideal para dibujarla —podríamos hacerlo en una taza (figura 12), aunque puede dibujarse sin cruces en otra superficie “más sencilla”. Ésta es una de las más interesantes y curiosas en matemáticas: la banda de Möbius, cuya peculiaridad radica en que, a pesar de dar la impresión de ser una superficie con “dos lados”, en realidad solamente tiene uno. Es decir, si nos imaginamos que uno puede “recorrer caminando” esta superficie iniciando desde un punto cualquiera y seguir y seguir caminando (siempre hacia adelante), cuando lleguemos nuevamente al punto de inicio ¡estaremos de cabeza! El famoso dibujo de Escher de las hormigas andando sobre una banda de Möbius ilustra claramente esta situación (figura 13).
La firma del diablo
Ya habíamos visto antes un dibujo no plano de K4. Notemos que el punto del centro donde se cruzan las dos diagonales del cuadrado no es un vértice. Esta figura es conocida como “la firma de diablo” y debe su nombre a la imposibilidad de recorrer todas las aristas de la gráfica sin repetir ninguna, sin levantar el lápiz del papel y regresando al mismo punto donde se inició el dibujo. Pensando en esta figura como una gráfica, lo que tratamos de hacer es encontrar un recorrido cerrado que pase por todas sus aristas exactamente una vez. Esto se conoce en la teoría de gráficas como recorridos eulerianos y debe su nombre al matemático suizo Leonard Euler, considerado el padre de la teoría de gráficas. Él logró resolver en 1736 un famoso acertijo de su época conocido como el problema de los puentes de Königsberg.
Sucede que por esa ciudad, (la cual, por cierto, ahora ya no tiene ese nombre), cruzaba el
Río Pregel, en el que había dos islas unidas entre sí, conectadas a la rivera por siete puentes
(figura 14).
El problema era el siguiente: iniciar en alguna de las cuatro porciones de tierra y hacer un “paseo” por la ciudad, atravesando por cada puente exactamente una vez, y regresando al punto de inicio.
En principio se trató de resolver este problema empíricamente, es decir, intentando encontrar tal paseo mediante prueba y error. Muchísimos experimentos fallidos hacían pensar en su imposibilidad, aunque nadie se atrevía a afirmar que así fuese, y en todo caso tampoco sabían explicar cuál era la razón de la inexistencia del mismo.
La gran contribución de Euler fue el demostrar rigurosamente que, en efecto, tal paseo era imposible; para ello utilizó por primera vez el concepto de gráfica como lo conocemos ahora. Euler representó el mapa de Königsberg mediante una gráfica: a cada porción de tierra la representó con un vértice y a cada uno de los puentes como una arista, de modo que dos vértices adyacentes en la gráfica indicaban dos porciones de tierra unidas mediante uno de los puentes (figura 15).
De hecho, no sólo respondió a la pregunta original, sino que logró dar una condición necesaria y suficiente para decidir si una gráfica cualquiera contiene un recorrido cerrado que pase por todas y cada una de las aristas exactamente una vez. Ese primer teorema de gráficas se enuncia así: “Una gráfica es euleriana si y sólo si a cada uno de sus vértices llega un número par de aristas (distinto de cero)”.
Evidentemente, ni la gráfica que representa a la ciudad de Königsberg ni la firma del diablo son gráficas eulerianas, y por tanto el camino que se busca en cada caso es inexistente.
La demostración de este teorema también es bastante sencilla: notemos primero que si la gráfica es euleriana, entonces sí es posible hacer el recorrido que se busca, ya que éste pasa por todos los vértices de la gráfica —pues pasa por todas las aristas. Cada vez que “toca” algún vértice utiliza una arista para llegar, y enseguida necesita una nueva arista para salir de él. Notemos que no se usa otra vez la arista con que llegamos, pues el recorrido no las repite. Así, cada “toque” de algún vértice por el recorrido representa dos aristas que inciden en él, lo cual se cumple también para el vértice que se haya escogido como inicio del recorrido (y final, pues es cerrado), y, por tanto, en cada vértice incide un número par de aristas: exactamente el doble de las “visitas” realizadas por el recorrido al vértice en cuestión.
Ahora bien, si partimos de que en la gráfica se cumple que a cada vértice llega un número par de aristas, se puede demostrar que la gráfica es euleriana (figura 16).
Cualquier polígono puede ser pensado como una gráfica, y a los n-ágonos (polígonos regulares de n lados) se les llama ciclos en la terminología de la teoría de gráficas. Es evidente que los ciclos son gráficas eulerianas.
Hemos visto pues que las gráficas son objetos realmente atractivos, intuitivamente fáciles de entender y, como mencionábamos al principio, sumamente vérsatiles. En la actualidad, esta teoría ocupa un lugar relevante dentro de la investigación en matemáticas, contando con el tiempo y la atención de muchos matemáticos en todo el mundo. Es impresionante observar el desarrollo explosivo que esta rama tuvo en la última mitad del siglo pasado, lo que tiene que ver quizá con las brillantes incursiones que hizo en otras áreas del conocimiento humano, aunque definitivamente sus principales aplicaciones se encuentran en las ciencias de la computación, área en la que los avances han sido gigantescos.
Puede ser que éste sea un fenómeno de crecimiento paralelo, en el que una y otra área obtienen logros significativos en forma simultánea, y que generan como consecuencia avances tecnológicos importantes —evidentes para la mayoría de las personas. A su vez, este desarrollo tecnológico contribuye decididamente a la creación del nuevo conocimiento teórico al proporcionar herramientas de experimentación y búsqueda cada vez más eficientes, acelerando con ello el desarrollo al que nos referíamos. Entonces se crea una especie de círculo sin fin de avance común entre varias esferas del conocimiento.
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Instituto de Matemáticas,
Universidad Nacional Autónoma de México.
Pilar Valencia Saravia
Instituto de Matemáticas,
Universidad Nacional Autónoma de México.
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como citar este artículo → Araujo Pardo, Gabriela y Valencia Saravia, Pilar. (2002). Un vistazo a la teoría de gráficas. Ciencias 67, julio-septiembre, 56-64. [En línea] |
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