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| Jorge Fuentes Fernández |
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La pelea sobre si la luz es onda o partícula viene arrastrándose
desde la antigua Grecia y es uno de esos capítulos que se repiten a lo largo de la historia; mientras que el filósofo Aristóteles defendía su naturaleza ondulatoria, Demócrito argumentaba la existencia de partículas de luz. Robert Hooke defendía su teoría ondulatoria de la luz, contrariamente Isaac Newton tenía una teoría corpuscular. No olvidemos que René Descartes era fiel defensor de la teoría ondulatoria. El primero en describir por primera vez de manera matemática la propagación de la luz como una onda fue Christiaan Huygens y posteriormente Thomas Young demostró en el laboratorio que, efectivamente, la luz es una onda. Pero una onda… ¿de qué? James Clerk Maxwell encontró en 1865 que la velocidad con que se propagaban las oscilaciones en campos eléctricos y magnéticos era exactamente igual a la de la luz, es decir, descubrió que la luz es una onda electromagnética. A finales del siglo xix, la teoría de Maxwell parecía concluir un debate de más de dos mil años. Tranquilidad que duró apenas unos cuarenta años.
Nos enseñan la dualidad onda-partícula de la luz desde la secundaria, pero prácticamente nadie entiende lo que se esconde detrás de esta contundente pero frágil afirmación. Parece ser que la luz está formada por fotones, unas partículas que a la vez son ondas. O bien, parece ser que la luz es una onda que está formada por unas partículas que se llaman fotones. Se dice muy a la ligera y, claro está, al escuchar esto uno se imagina una pequeña pelotita amarilla moviéndose hacia arriba y hacia abajo —oscilando— según se desplaza por el espacio. Nada más lejos de la realidad. En verdad, la partícula no oscila, la partícula misma es la oscilación. De todas las ironías de la física moderna, ésta es mi favorita.
¿Cómo que la partícula es la oscilación? ¿Qué significa? Son los inicios de la física cuántica y, en palabras de Niels Bohr, uno de los padres (o más bien de los abuelos) de la teoría: “cualquiera que piense que puede hablar sobre la teoría cuántica sin marearse, ni siquiera ha empezado a entenderla”. Lo que sí es verdad es que la luz a veces se comporta como si fuera una onda y otras veces como si fuese un conjunto de partículas. Y por el momento, eso es todo. Quien se dio cuenta de esto fue el joven Albert Einstein en 1905 (el mismo año en que publicó su teoría de la relatividad especial), usando algunas ideas que el no tan joven Max Planck había postulado unos años antes. Hasta entonces, la luz era entendida como una onda que se propaga en todas las direcciones del espacio, igual que el sonido. Al establecer que la luz estaba también formada por partículas, Planck y Einstein sentaron las bases para una nueva revolución en la física, en la filosofía y en la forma de ver el mundo que nos rodea. Pero no es de Einstein de quien me dispongo a hablarles, de él ya nos han contado en muchas ocasiones, quiero hablarles de Louis-Victor Pierre Raymond, séptimo duque de Broglie.
Érase una vez un duque
Louis de Broglie nació el 15 de agosto de 1892 en Dieppe, una pequeña ciudad francesa en la costa de Normandía. Miembro de una de las familias más distinguidas de la nobleza francesa, dedicada por tradición a la política, Louis tenía desde su nacimiento un futuro profesional predeterminado. Así que en 1910, tras acabar el bachillerato realizó estudios de historia con ánimos de lograrse una carrera en el servicio diplomático. Por suerte esto nunca sucedió. Sus inquietudes cambiaron, y ese mismo año de Broglie tomó una decisión que cambiaría su vida y tal vez la de todos nosotros. Tres años más tarde, en 1913, obtuvo su licenciatura en física, con la mala suerte de que al siguiente año estalló la Primera Guerra Mundial. Durante los siguientes cuatro años, de Broglie sirvió al ejército francés en la estación de telegrafía sin cable en la Torre Eiffel. No era un mal lugar para servir al ejército, al fin y al cabo, y esos cuatro años le dieron a de Broglie tiempo para pensar.
A la vuelta del servicio militar, el joven Louis comenzó ayudando a su hermano mayor Maurice, sexto duque de Broglie, quien muy a pesar de sus padres ya se había forjado una carrera como físico experimental (me gusta pensar que Louis heredó dos cosas de su hermano Maurice: su título de duque y su interés hacia las ciencias físicas). En 1920, Maurice utilizaba los cuantos de luz de Einstein (que seis años más tarde pasarían a llamarse fotones) para estudiar los núcleos de los átomos. En particular utilizaba rayos X, que al igual que la luz visible están formados por fotones, aunque mucho más energéticos.
Fue a raíz de las conversaciones con su hermano mayor que, en el verano de 1923, a Louis de Broglie se le ocurrió una idea sencilla pero difícil de tragar, que le daría el título de doctor un año más tarde y el Nobel de física en tan sólo cinco años; una idea que lo cambiaría todo. Completamente antintuitiva, la hipótesis de Broglie confunde a cualquiera y, al pensarlo bien, hace que se pongan los pelos de punta. Hasta sus propios examinadores de tesis, desconcertados, mandaron una copia a Albert Einstein para que le diera el visto bueno. Durante una entrevista en 1963 de Broglie dijo: “como en mis conversaciones con mi hermano siempre llegábamos a la conclusión de que, en el caso de los rayos X, uno tiene ondas y corpúsculos, entonces, de repente —fue en el transcurso del verano de 1923— tuve la idea de que...” (antes de continuar es necesario aclarar algunas diferencias entre una partícula o corpúsculo y una onda).
Ondas y partículas: nada que ver
Todos tenemos alguna idea intuitiva de lo que es una onda y lo que es una partícula, pero vale la pena discutirlo.
Primera diferencia. En principio, una partícula se puede situar, en un momento dado, en una posición determinada. Una pelota, por ejemplo, está siempre en una posición bien definida. Yo le puedo dar una patada y entonces haré que se desplace, pero en cada instante de tiempo está claro que la pelota ocupará un único lugar en el espacio. Con una onda esto no sucede; por ejemplo, si arrojo una piedra a un estanque, generará una onda que se propaga sobre el estanque en todas las direcciones. El sonido es otro buen ejemplo, se propaga en las tres dimensiones del espacio.
Segunda diferencia. Comúnmente, las partículas tienen una cierta masa. Decir que una onda tiene masa no tiene sentido. Lo que una onda hace es transportar energía de un lugar a otro.
Tercera diferencia. Cuando dos partículas chocan cambian la dirección de su movimiento y la velocidad. En cambio, cuando se encuentran dos ondas no cambian la dirección ni l velocidad, sino que continúan su camino superponiéndose la una sobre la otra. Este fenómeno se llama interferencia.
Cuarta diferencia. Las ondas pueden “dar vuelta en las esquinas” y las partículas no. Imaginemos dos amigos, uno frente al otro, pero con un obstáculo en medio, un muro aislado acústicamente de dos por dos metros (sin estar encerrados, uno puede rodear el muro y ver al otro). Si uno habla —genera una onda de sonido— el otro puede escuchar, por mucho que haya un muro en medio de ambos. Lo que ocurre es que al llegar a la esquina del muro, la onda se vuelve a propagar en todas las direcciones desde ese punto y puede llegar así a la persona que escucha. Para efectos prácticos “la onda da vuelta en la esquina” y llega adonde a las partículas les es físicamente imposible.
Como paréntesis, y para ser un poco más correctos, he de decir que en realidad una onda no se propaga en absolutamente todas las direcciones al dar vuelta en una esquina: la cobertura de la onda se abre más o menos después de la esquina dependiendo de su longitud de onda (esto es, la distancia entre los picos o entre los valles de la onda). Una onda de sonido que tiene una longitud de onda relativamente larga, se abre en prácticamente todas las direcciones, así que el sonido llega a todos los rincones. Una onda de luz, que tiene una longitud de onda muy cortita, se abre muy poco al dar vuelta en una esquina: la luz no llega a todos los rincones y es por eso que existen las sombras. Pero si miras una sombra con cuidado, verás que su borde nunca está bien definido, porque la luz sí llega a dar vuelta un poquito. Todo esto de “dar vuelta en las esquinas”, reitero, es un efecto que sólo sufren las ondas. Este efecto, mucho más complejo de lo que yo lo he presentado, recibe el nombre de difracción.
Las cuatro consideraciones antes dichas establecen una conclusión clara para cualquiera: si algo es una partícula no puede ser una onda y viceversa; algo no puede estar en un lugar fijo y estar en todos los lugares a la vez; algo no puede tener masa y no tenerla a la vez; algo no puede chocar cambiando su trayectoria e interferir sin alterar su camino a la vez; algo no puede dar vuelta en las esquinas y seguir una trayectoria siempre fija a la vez.
Las nociones de partícula y de onda están tan enraizadas en nuestra cultura y educación que nos es prácticamente imposible juntar los dos conceptos en uno mismo. La ironía es que, desde hace algunos años, a partir de un cierto nivel de educación, el hecho de que la luz presenta esta dualidad onda-partícula parece estar también bastante arraigado. Algo que siempre fue una onda (nos enseñan que la luz tiene una longitud de onda, que esto define el color que percibimos, etcétera) parece que también es un conjunto de partículas: los fotones. Si uno se para un momento a pensarlo, es totalmente contradictorio; pero... ¿y si fuera al revés?
La tesis doctoral
En el verano de 1923, de Broglie tuvo una idea magnífica; más difícil de aceptar que todo lo relacionado con la luz. El razonamiento y la hipótesis de Louis de Broglie fueron, a mi entender, más o menos como sigue. Desde mitad del siglo xix estaba ampliamente aceptado que la luz era una onda. Toda la teoría de la electricidad, el magnetismo y la óptica se basan en esta suposición (y mirando a mi alrededor, debo decir que funcionan bastante bien). Pero, de repente, allá por el año 1905, un experimento mostró —de la mano de Albert Einstein— que la luz puede actuar a veces como un conjunto de partículas. Si nunca se hubiera llevado a cabo aquel experimento llamado efecto fotoeléctrico seguiríamos convencidos de que la luz es una onda y punto. Louis de Broglie le dio la vuelta al descubrimiento de Einstein: ¿y si las partículas que conforman la materia, como los electrones, muestran la misma dualidad onda-partícula, pero nunca hemos hecho el experimento adecuado para verlos como una onda?
Si lo que hasta hace poco entendíamos como una onda es en realidad también partícula, quizás lo que siempre hemos entendido como una partícula sea en realidad también onda. Conviene hacer notar que, por el momento, esto era sólo una hipótesis; para que fuese verdad, tendría que ser demostrada. De cualquier modo, de Broglie se lanzó a los cálculos.
Los fotones son partículas sin masa, pura energía. Quizás esto ayude a la idea de que dichas partículas también sean ondas no nos resulte tan extravagante después de todo (aunque por muy “sin masa” que sean, aún hay que entender cómo es que un fotón puede estar localizado en un lugar determinado y a la vez no). Pero, ¿cómo conciliar el concepto de una partícula con masa, como un electrón, con el de una onda sin masa?
El punto de partida para de Broglie lo había dado el mismo Einstein hacía unos años. Se trata de la ecuación más famosa de la historia: E = mc2, la energía que algo encierra es igual a su masa por la velocidad de la luz al cuadrado. En uno de sus trabajos de 1905, Albert Einstein demostró que masa y energía son en realidad dos facetas de la misma cosa. La masa no es sino una manera muy efectiva de concentrar energía. Lo que de Broglie hizo fue interpretar un electrón no como una partícula de masa me, sino como una onda que transporta una energía Ee = mec2. A partir de esta energía y de la velocidad con la que se mueve un electrón, pudo asignarle una longitud de onda y las demás cualidades que tienen las ondas, como la luz y el sonido. El valor de c es muy grande (aproximadamente 300 000 km/s); esto quiere decir que la energía que concentra un solo electrón es tremenda, mayor que la de cualquier tipo de fotón.
Ahora supongamos que es cierto que un electrón presenta esta dualidad onda-partícula. ¿Qué significa esto? Primero aclaremos que de Broglie no trata de convencernos de que un conjunto de electrones se pueda comportar como una onda. No y mil veces no. Un electrón, cada electrón, es una onda en sí mismo. De ser cierta la hipótesis que plantea de Broglie, si yo lanzo un solo electrón hacia una pared, éste se desplazaría como onda, expandiéndose hacia todas direcciones. Sin embargo, al llegar a la pared el electrón incidiría sólo en un punto. Al fin y al cabo, lancé sólo un electrón. Pero el electrón puede incidir en cualquier lugar que esté permitido por su onda electrónica, ¡aunque haya obstáculos de por medio! Si la onda puede llegar, entonces el electrón también puede. Un electrón puede “dar vuelta en las esquinas”, como lo hacen las ondas, pero al llegar a la pared incide en una posición única y determinada, como lo hacen las partículas. Es como si las olas del mar llegaran a la orilla de la playa y rompieran sólo en un punto. Ni siquiera tiene sentido imaginarlo.
Por suerte para de Broglie, en 1924, cuando terminó su tesis doctoral, la teoría de Einstein sobre el tiempo y el espacio ya estaba aceptada. También la teoría de que la luz presenta esta dualidad onda-partícula. Así que la comunidad científica había aprendido a no desechar a la primera las ideas que estaban por venir, por muy raras que fueran. Tres años después de la publicación de la tesis doctoral de Louis de Broglie, dos físicos estadounidenses, Clinton Davisson y Lester Germer, llevaron a cabo con éxito un experimento en que, lanzados uno a uno, los electrones dan vuelta a las esquinas e interfieren como ondas e inciden en una pared como partículas.
En 1929, dos años después de la demostración experimental de su hipótesis y tan sólo cinco años después de la publicación de su tesis, Louis obtuvo su merecido Premio Nobel de física: “por su descubrimiento de la naturaleza ondulatoria de los electrones”.
Pero recuerda que todo esto de doblar esquinas depende de la longitud de onda y cuanto más grande es la energía que porta una onda, más pequeña es su longitud de onda. Como hemos visto, un electrón concentra mucha más energía que cualquier fotón, así que tiene una longitud de onda mucho más chiquita. A efectos prácticos, esto hace que los electrones, como ondas, doblen las esquinas muy, muy poquito. Es un efecto pequeño, pero es real y es medible.
Los electrones en los átomos
Los físicos estaban confundidos, pero se empezaban a explicar algunas cosas. En 1911, Ernest Rutherford descubrió la existencia del núcleo de los átomos (el electrón ya se había descubierto algunos años antes) y propuso el modelo atómico que todos tenemos hoy en la cabeza: electrones orbitando alrededor de un núcleo central, en donde están los protones y los neutrones; igual que orbitan los planetas alrededor del Sol. Una revolución en su tiempo y un modelo muy poderoso, pues es tremendamente fácil de visualizar. Irónicamente este modelo del átomo que tanto nos gusta, y que todos tenemos presente, se derrumbó en menos de dos años, pues sencillamente no funcionaba. Pero, en 1913, Niels Bohr encontró una solución que resolvía los problemas del átomo “planetario” de Rutherford. Es una solución un tanto absurda: los electrones no pueden ocupar cualquier órbita, sólo algunas órbitas determinadas; la órbita número 1, la número 2, la número 3, etcétera. Como si un planeta girando alrededor del Sol sólo pudiera estar en la órbita de Mercurio o en la de Venus o en la de la Tierra, pero en medio fuera imposible. No obstante, si bien el modelo atómico de Bohr funcionaba, nadie —ni él mismo— entendía por qué.
Según de Broglie, hay que dejar de imaginar el electrón como una bolita moviéndose alrededor del núcleo. Asumamos que el electrón es una onda y, como tal, no está en ningún lugar determinado. Imaginemos una cuerda tomada por los extremos; al agitarla podemos crear una onda “simple”, con una barriga que sube y baja en el centro de la misma (como al tocar la cuerda de una guitarra); pero agitándola un poco más fuerte y con algo de maña, podríamos crear una onda doble, con dos barrigas que suben y bajan, y un punto justo en medio de la cuerda que se queda quieto: un nodo. Así podríamos crear también una onda triple (con tres barrigas y dos nodos), una cuádruple (con cuatro barrigas y tres nodos), etcétera. Estas ondas que tienen los extremos fijos se llaman ondas estacionarias, y las diferentes formas de oscilar (el número de barrigas) se denominan modos. Así, está el modo número 1, tenemos el modo número 2, el modo número 3, etcétera.
Para de Broglie, las misteriosas órbitas permitidas de Bohr son en realidad los diferentes modos de oscilación de una onda estacionaria. No podemos hacer vibrar nuestra cuerda con una barriga y media o con la mitad o con el cuarto de una barriga. De la misma forma, el electrón sólo puede oscilar de manera que haya un número entero de barrigas (1, 2, 3...). Así que no son posibles todas las órbitas, lo que es más, olvidémonos del concepto de órbita para el electrón, pues es erróneo y crea confusiones. Quizás sería mejor imaginarse el electrón como una cuerda cerrada alrededor del núcleo o una goma elástica vibrando. Cuando se dice que el electrón “salta” de un nivel a otro, según de Broglie, lo que sucede es que el electrón pasa de vibrar con una barriga a vibrar con dos barrigas (o cualquier otra combinación).
Lo curioso de todo esto es que si en un momento dado hacemos un experimento para detectar el electrón como partícula entonces vamos a detectar una partícula en una posición determinada. Sin embargo, no se puede olvidar que la hipótesis propuesta por de Broglie nos dice que el electrón es una onda en sí mismo. No es que el electrón se mueva como si fuera una onda, oscilando en su órbita mientras se mueve. No es que el electrón pase más tiempo en las zonas donde es más probable encontrarlo. El electrón es una onda y, como tal, está en todas sus posiciones posibles alrededor del núcleo. Al igual que la onda creada en la cuerda está en todas las posiciones de ésta al mismo tiempo. ¿Por qué entonces se puede ver a la vez el electrón como una partícula en una posición determinada si es totalmente contradictorio?
Esas ondas que llamamos electrones
Lo que ocurre es que la única manera de ver algo es interactuando con ese algo; por ejemplo, iluminándolo, y al hacerlo se le está bombardeando con fotones que chocan contra él. Para entender esto, olvidémonos por un segundo del electrón como partícula; pensemos que existe una onda estacionaria oscilando alrededor del núcleo de un átomo. Si quiero ver qué es lo que hay por ahí, aunque no quiera, tengo que interactuar con la onda (por ejemplo, mandando un fotón) e inevitablemente la voy a modificar. Y curiosamente, lo que ocurre al interaccionar con la onda del electrón es que la fuerzo a colapsar su energía en algún lugar. Dicho de otro modo: para poder ver la onda, tengo que hacer que se apelmace toda ella en algún punto. Pero estoy haciendo trampa, no estoy observando la onda donde estaba (porque no estaba en ningún lugar en particular), la estoy forzando a agruparse en una posición. Entonces, momentáneamente, la onda “desaparece” y “aparece” como una partícula. Desde su descubrimiento, a esta partícula se le llamó electrón, pero su verdadera naturaleza estaba oculta; hasta que llegó Louis de Broglie.
Puedo forzar la onda a aparecer en cualquier región del espacio en donde ella antes se extendía, pero no puedo elegir el sitio. La probabilidad de encontrar el electrón en un lugar o en otro depende únicamente de qué tan amplia era la onda en un lugar o en otro. En el ejemplo de la cuerda sujetada por los dos extremos, si la cuerda está oscilando en el modo número 1, la probabilidad de encontrar al electrón en el centro sería muy alta; y la probabilidad de encontrarlo cerca de los extremos sería muy pequeña. Pero el electrón es el mismo, aparezca donde aparezca.
Algunas propiedades de los electrones
Los electrones no son partículas de luz, no son fotones, pero ayudan a ver. Como norma general, para ver algo pequeñito hay que iluminarlo con una luz que tenga una longitud de onda del mismo tamaño (o menor) que lo se quiere observar. La luz visible tiene una longitud de onda de aproximadamente media milésima de milímetro, así que si ilumino algo con luz visible puedo ver cosas de milésimas de milímetro (micrómetros). Luego si puedo amplificar la imagen mediante un sistema de lentes, obtengo un microscopio óptico —instrumentos inventados a principios del siglo xvii que han permitido un importante desarrollo experimental en prácticamente todas las ramas de la ciencia.
Ahora bien, las “onda-electrones” que planteaba de Broglie tienen una longitud de onda unas cien mil veces más pequeña que la luz visible. La idea es que si usamos ondas de electrones en vez de ondas de luz, podemos llegar a ver tamaños de menos de una milésima de milésima de milímetro (menos de un nanómetro), ¡al límite del tamaño de los átomos!
En 1931, el físico Ernst Ruska y el ingeniero electrónico Max Knoll, ambos alemanes, dieron un provechoso uso al descubrimiento de Louis de Broglie. Sustituyendo las lentes ópticas por un sistema de lentes electromagnéticas, Ruska y Knoll construyeron el primer microscopio electrónico que bien podrían haber llamado nanoscopio. Hoy día, el microscopio electrónico nos brinda imágenes impresionantes de microorganismos, células, cristales y un largo etcétera.
Asimismo, los electrones tampoco son ondas sonoras, pero se comportan de manera similar. Si alguna vez escuchaste los gritos de tu vecino desde tu casa, sabrás que las ondas pueden atravesar las paredes. Al llegar a una pared, parte del sonido se refleja —vuelve hacia atrás— y otra penetra la pared. La parte de la onda que penetra la pared se amortigua muy rápidamente, es decir, pierde intensidad, porque la pared absorbe su energía.
Sin embargo, si la pared no es muy gruesa, la onda logrará llegar al otro lado antes de amortiguarse del todo, entonces del otro lado escucharemos los gritos del vecino.
Claro está, los electrones no son lo mismo que el sonido, y tampoco los muros que pueden encontrar en su camino, pero el efecto es parecido. Para un electrón, las paredes son, de energía; una pared es una barrera cuya energía es mayor a la que él mismo tiene. Si el electrón fuera una partícula, rebotaría hacia atrás sin más, como una pelota al llegar a un muro. Pero, como onda, el electrón puede penetrar un poco. Como antes, la intensidad de la parte de la onda que penetra en la pared se amortigua rápidamente y cuanta más pequeña sea la diferencia de energía entre la barrera y el electrón, más lejos podrá penetrar el electrón.
Ahora imaginemos el electrón dentro de una caja delimitada por paredes de energía. Si se tratara de una partícula sin más, el electrón rebotaría en las paredes de la caja por siempre; pero no se trata de una partícula, sino de una onda. Si las paredes de la caja no son demasiado energéticas, una parte sustancial de la onda del electrón logrará salir de la caja. Visto como una onda tiene sentido: parte se refleja, parte se transmite. De hecho, en general, la mayoría de la onda se refleja y una pequeña parte se transmite. Pero recordemos que, si yo me pregunto en dónde está el electrón y trato de detectarlo, voy a forzarlo a aparecer en una posición determinada, como partícula. ¿Y dónde voy a encontrar mi partícula? Es cuestión de probabilidad, pero la puedo encontrar en cualquier lugar en donde antes se extendía su onda. Habrá mucha probabilidad de encontrarlo dentro de la caja y la mayoría de las veces ahí estará. Pero existe también la pequeña posibilidad de que encuentre el electrón fuera de la caja. Cuando yo miro y encuentro el electrón fuera de la caja, lo que he hecho es forzar toda la onda del electrón a atravesar la pared y acumularse fuera de la caja. En este momento, el electrón (como partícula y como onda) está totalmente fuera y seguirá libre su camino a partir de ahí.
Sólo por observarlo (interactuar con él) he sacado el electrón de la caja. Esto es física cuántica pero, cuidado, esto no sucede debido a que al interactuar con el electrón le haya proporcionado la energía suficiente para superar la barrera de la caja. Por su naturaleza ondulatoria, el electrón, en parte ya estaba fuera antes de que yo lo observara. Lo que hice al observarlo fue forzar la onda del electrón a acumularse en un lugar determinado. El dónde es cuestión de probabilidad: puede que dentro, puede que fuera.
Alguien que no sepa que el electrón era una onda antes de que yo lo mirara pensaría que el electrón ha excavado un túnel para poder salir. De ahí el nombre de este fenómeno: efecto túnel. Para efectos prácticos, este efecto me dice que puedo encontrar el electrón en lugares donde es imposible que esté, a no ser, claro, que aceptemos que el electrón es una onda.
Conviene hacer notar que el efecto túnel no sólo ocurre cuando nosotros tratamos de observar deliberadamente el electrón. Cualquier partícula que pasara por ahí cerca podría interactuar con la parte de la onda que está fuera de la caja y sacar el electrón de la caja. Aunque la probabilidad de que esto ocurra es muy pequeña, en el mundo hay suficientes partículas para que suceda todo el tiempo.
Muchos fenómenos naturales ocurren por efecto túnel: el primer caso que se registró fue en el núcleo de uranio, en donde un grupo de dos protones y dos neutrones —un núcleo de helio— puede interactuar con algo que esté fuera (es decir, como onda) y escapar del núcleo de uranio para siempre, de forma totalmente aleatoria y sin razón aparente (dejando atrás un núcleo de torio, con dos protones y dos neutrones menos que el uranio original). Este fenómeno es el de la radiactividad y tuvo a los físicos de principios del siglo xx de cabeza, hasta que en 1928 el físico ucraniano George Gamow aplicó las ecuaciones de la física cuántica y descubrió el efecto túnel. La radiactividad sucede natural y espontáneamente en todos los elementos con más de 82 protones en su núcleo ya que, cuando hay tantos protones juntos, la fuerza nuclear que los retiene se debilita y los núcleos se vuelven inestables. En términos del efecto túnel, a partir del número 82 las paredes de la “caja nuclear” se vuelven lo suficientemente poco energéticas como para que una parte sustancial de la onda encerrada pueda salir. Entonces, la probabilidad de interactuar con un electrón o cualquier otra partícula fuera de la caja que la retiene no es cero.
De la idea a la revolución
Sin embargo, todo esto trasciende los electrones. La tesis de Louis de Broglie apuntaba en una dirección y el físico austriaco Erwin Schrödinger supo verlo con claridad. Tan sólo dos años después de su publicación, Schrödinger usó las ideas de Louis de Broglie para crear una teoría completa basada en la supuesta naturaleza ondulatoria de toda la materia. Se trata de la formulación ondulatoria de la mecánica cuántica, fundamento teórico para el estudio del átomo, del núcleo y de todas las demás partículas elementales (junto con la teoría de la relatividad especial de Einstein).
Pero Schrödinger no fue el primero en echar a andar la mecánica cuántica. Un año antes, y de forma completamente independiente, dos físicos alemanes, Werner Heisenberg y Max Born, habían desarrollado una nueva teoría basada en la cuantización, es decir, desde el punto de vista de las partículas y no de las ondas. Ellos partieron de un principio que causó mucha controversia; aceptando la propuesta elaborada por de Broglie, que los electrones son ondas pero cuando los observemos nunca los vamos a ver como tal, los vamos a ver como partículas, concluyeron que aquello que no se puede observar no es sujeto de la ciencia. Olvidémonos entonces de esas ondas que no podemos ver y tratemos a los electrones como partículas, aunque se comporten de un modo un poco extraño. En el desarrollo de su teoría, se vieron obligados a usar matrices (formulación matricial de la mecánica cuántica) y aquí se metieron en más problemas: uno puede visualizar una onda como algo físico (la oscilación en una cuerda, en la superficie de un estanque, etcétera), pero no una matriz. La teoría de Heisenberg y Born involucraba matemáticas extremadamente difíciles de entender y de visualizar. Por su lado, Erwin Schrödinger conocía la teoría y le molestaban mucho tanto las complicadas matemáticas como esa filosofía de que “lo que no podemos ver no es sujeto de la ciencia”. Él pensaba que la ciencia debe poder cubrir la naturaleza en su plenitud. Esto lo impulsó a desarrollar su alternativa ondulatoria basada, ahora sí, en las ideas ondulatorias de Louis de Broglie.
El éxito de esta nueva formulación ondulatoria fue rotundo, y más aún cuando el propio Schrödinger logró demostrar que las dos formulaciones eran completamente equivalentes. Tratemos a los electrones como partículas o como ondas ¡los resultados son los mismos! ¿Partículas u ondas? Ambas. La formulación de Schrödinger era más fácil de visualizar y las matemáticas eran radicalmente más simples.
Un resultado devastador
Cuando la inofensiva idea de de Broglie se convirtió en una teoría física completa, las conclusiones más espeluznantes comenzaron a emerger. Imaginemos que nos disponemos a detectar un electrón. ¿Dónde lo vamos a encontrar? No lo sabemos con certeza, puesto que mientras no lo observemos, el electrón es una onda y se encuentra “en todas partes” (en todos los lugares posibles). Como mucho, si conocemos bien su onda podemos calcular la velocidad a la que se propaga, pero no tiene sentido preguntarse dónde está el electrón como partícula. Ahora medimos y observamos el electrón en un punto determinado, como partícula. Hemos apelmazado la onda del electrón más o menos en un punto; ya sabemos dónde está. Pero hemos perdido la información sobre la onda y dado que no sabíamos dónde estaba el electrón un instante antes de mirar, ahora no podemos calcular su velocidad. Entonces, cuando podemos calcular de forma precisa la velocidad del electrón (como onda), no podemos decir en qué posición se encuentra. Cuando podemos medir la posición del electrón (como partícula), no podemos calcular su velocidad.
“Cuanto mayor es la precisión en la determinación de la posición, menor es la precisión en la determinación de la velocidad, y viceversa”. Es, en sus propias palabras, el Principio de incertidumbre de Werner Heisenberg (que no es realmente un principio, sino un resultado de la teoría). Aunque llegó a este resultado utilizando sus matrices, y quizás es por esto que los físicos de la época no entendieron bien el trasfondo del Principio de incertidumbre, ni siquiera él mismo era plenamente consciente de la profundidad de su descubrimiento. Finalmente, en el año de 1930 quedó demostrado que con las ecuaciones de onda de Schrödinger se llega al mismo resultado.
Hay que entender que el principio de incertidumbre no tiene nada que ver con que nuestros instrumentos de medida sean imprecisos. Tampoco tiene que ver, como creía el propio Heisenberg, con que al medir la posición de un electrón (iluminándolo con un fotón, por ejemplo) modifiquemos su velocidad arbitrariamente porque el fotón le ceda energía. No, el principio de incertidumbre tiene que ver con que el electrón tiene una naturaleza de onda-partícula. Al electrón como onda no tiene sentido asignarle una posición precisa y como partícula no tiene sentido asignarle una velocidad precisa. Es naturalmente imposible conocer la posición y la velocidad de un electrón con exactitud, porque un electrón no tiene una posición y una velocidad determinada a la vez. Y no hay nada que podamos hacer al respecto.
Un final inevitablemente filosófico
Las implicaciones filosóficas de los resultados de Louis de Broglie y la generación de investigadores que en este campo lo siguieron no son menos espeluznantes que los resultados físicos. Primero, recordemos la analogía del electrón como una cuerda vibrando alrededor del núcleo de un átomo. Dijimos que teníamos que olvidarnos del electrón como una partícula orbitando alrededor del núcleo; mejor imaginar el electrón como una cuerda elástica vibrando alrededor del mismo, pero en realidad no es así. En esta analogía el electrón no sería la cuerda, sería la oscilación sobre la cuerda. En el ejemplo de una cuerda sujetada por los extremos, al sacudir la cuerda estoy creando una onda; pero está claro que la cuerda no es una onda, más bien la onda se propaga sobre la cuerda.
¿Existe entonces una “cuerda” microscópica que le sirve a la onda del electrón para vibrar, para existir? Si el electrón es la oscilación, ¿qué es entonces lo que oscila? Cuando Erwin Schrödinger desarrolló su teoría con ánimos de quitarse de en medio eso de que “lo que no podemos ver no es sujeto de la ciencia”, se topó de lleno con su peor monstruo. ¿Qué es lo que oscila? Acabamos de llegar a ese punto, en el que la mente se da la vuelta y se va. Schrödinger creía que el electrón (su masa, su carga) estaba desparramado allá en donde se extiende su onda. Donde la onda es más amplia hay más electrón, y donde la onda es más débil hay menos electrón. Max Born le dio una interpretación distinta a la función de onda de Schrödinger: lo que se desparrama no es el electrón, sino la probabilidad de encontrarlo aquí o allá. Donde la onda es más amplia hay más posibilidad de encontrar el electrón al mirar. Y ésta fue la interpretación ganadora, puesto que si uno observa muchas veces el electrón como partícula, siempre ve la misma carga y masa, pero el electrón aparecerá cada vez en una posición diferente, según las probabilidades de Born. Lo que oscila es la probabilidad y ésta es inherente al electrón porque es una onda en sí mismo: no es que el electrón sea una partícula y no sepamos donde está; es que el electrón es una onda y está en todos los lugares posibles. Hasta que algo interactúe con él. Pero puede que esto no conteste la pregunta de qué es lo que oscila. Hasta puede que, si realmente no podemos ver estas ondas como tales, la pregunta misma no tenga sentido.
Niels Bohr, Werner Heisenberg y Max Born lo tenían muy claro, lo que no se puede observar no es sujeto de la ciencia y en cuanto a ciencia se refiere: no existe. A la pregunta de qué es lo que oscila en realidad, la rotunda respuesta de estos tres científicos es: ¿qué importa? Es nuestra observación la que hace aparecer un electrón y punto.
Sin embargo, ni Albert Einstein ni Louis de Broglie ni Erwin Schrödinger aceptaron esto. Para ellos, debe existir una realidad bien definida sin la necesidad de un observador y si nuestras teorías físicas no pueden describir eso, es que no son teorías completas. Por el contrario, para el trío de Bohr, Heisenberg y Born, la realidad está totalmente ligada a la observación y no tiene sentido preguntarse qué había en realidad antes de observar, pues al fin y al cabo, eso no me sirve de nada.
Lo gracioso es que, pensemos de una manera o de otra, el resultado físico es el mismo. Si quiero pensar que existe una realidad más allá de la observación o que la realidad sólo existe cuando se interactúa con ella, el mundo seguirá funcionando, los experimentos seguirán siendo válidos, las predicciones seguirán siendo útiles, la ciencia seguirá aportando conocimiento, herramientas, tecnología. ¿Importa entonces? Parece que es un juicio personal y puede que Heisenberg y compañía tengan razón: a partir de aquí nos encontramos fuera de los límites de la ciencia.
Si en un instante determinado yo pudiera conocer la posición y la velocidad de todas las partículas que conforman un sistema físico, manejando las ecuaciones yo podría determinar el futuro de ese sistema con exactitud. Antes de Heisenberg, la física era absolutamente determinista. Si aceptamos que cada uno de nosotros, y el Universo en su conjunto, no somos más que un sistema físico de partículas (muy complejo, eso sí), nuestro futuro debe estar totalmente determinado por el estado físico del presente. Si conocemos el presente con exactitud, podemos predecir el futuro con exactitud. Aunque quizás el número de partículas involucrado es tan grande que es prácticamente imposible conocer el presente con exactitud, aun así, sólo hay un futuro posible: “el futuro está escrito en el presente”.
Pero el principio de incertidumbre de Heisenberg niega esto, es naturalmente imposible asignar una posición y una velocidad a cada partícula. La diferencia es que ahora es práctica y teóricamente imposible conocer el presente con exactitud, porque el presente no existe con exactitud. La incertidumbre intrínseca en la posición o en la velocidad nos dice que existen muchos futuros posibles para un sistema físico. A lo máximo que podemos aspirar es a decir que “hay tal probabilidad de que ocurra esto y tal probabilidad de que ocurra esto otro”. Así es el mundo y nada más se puede hacer.
El grupo de Einstein, de Broglie y Schrödinger se oponía a esta nueva visión. El Universo debe tener un presente determinado y evolucionar de esa manera. Así que la teoría cuántica debe ser incompleta. Algo se nos tiene que estar escapando. En palabras de Einstein, quien pasó gran parte de su vida tratando de desmontar la teoría: “dios no juega a los dados”. Pero no lo consiguió, la teoría cuántica funciona y muy bien. Como dijo Stephen Hawking: “dios no sólo juega a los dados, sino que a veces los lanza donde no los podemos ver”.
Es una de esas cosas que a uno le pueden perseguir durante la vida entera. Todo esto porque el electrón es una onda. Una idea inofensiva nacida en el verano de 1923 en la cabeza del segundo hijo de un tal duque de Normandía: Louis-Victor Pierre Raymond, séptimo duque de Broglie, quien nunca pudo aceptar las consecuencias de su propia tesis doctoral.
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Jorge Fuentes Fernández
Instituto de Astronomía,
Universidad Nacional Autónoma de México.
Jorge Fuentes Fernández es licenciado en física y doctor en teoría magnética solar. Recientemente dio un vuelco a su carrera profesional y actualmente se encuentra realizando un posdoctorado en el Departamento de Instrumentación del Instituto de Astronomía de la UNAM, en el campo de diseño óptico.
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cómo citar este artículo →
Fuentes Fernández, Jorge. 2015. ¿Ondas o partículas? La teoría de la doble solución de Louis de Broglie. Ciencias, núm. 117, julio-septiembre, pp. 14-25. [En línea].
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| Wolfgang Bietenholz |
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La vida de Alexander Grothendieck estuvo dominada por la
turbulencia y cambios radicales. Sin embargo, una característica constante fue que siempre siguió su propio camino, manteniéndose alejado de cualquier patrón ya establecido; y todo lo que hizo siempre fue con absoluta entrega.
Este recuento de su biografía, bastante peculiar, comienza con sus padres. Alexander Schapiro (1890-1942), su padre, nació en el pueblo ruso Novozybkov, en la región colindante con Bielorrusia y Ucrania, en una comunidad judía ortodoxa. A temprana edad se unió a un grupo anarquista armado que, tras un intento fallido de derrocar al zar, fue capturado en 1905. Todos los miembros fueron ejecutados con excepción de Schapiro a quien, debido a su juventud, se le “perdonó” para condenarlo a cumplir cadena perpetua. Aproximadamente diez años más tarde logró escapar; de inmediato se unió a otro grupo anarquista, esta vez en Ucrania. De nuevo fue capturado y sentenciado a muerte, pero logró escapar una vez más (lo cual le costaría su brazo izquierdo). Grothendieck lo honraba muchísimo.
Después vivió en Berlín y trabajó como fotógrafo independiente. Hacia 1924 conoció a Hanka (en realidad Johanna) Grothendieck (1900-1957), a cuyo marido le dijo: “te robaré a tu esposa”, y lo hizo. Hanka también era activista de extrema izquierda e intentó volverse periodista y escritora pero, a pesar de su talento, no logró publicar gran cosa. En 1928 nació su hijo Alexander Grothendieck, a quien llamaban Schurik. Sus primeros cinco años transcurrieron en Berlín.
Una juventud marcada por la guerra
Cuando los nazis tomaron el poder en 1933, la situación se volvió muy peligrosa para Schapiro, por lo que huyó a París. Hanka pronto se le unió y mientras tanto encargó a Schurik con una familia en Hamburgo, donde acudió a la escuela de 1934 a 1939. Vivió en el hogar de Wilhelm Heydorn, ex oficial militar y sacerdote, quien se había vuelto pacifista y ateo. La ascendencia judía de Schurik se mantuvo en secreto, pero en 1939 Alemania se estaba volviendo demasiado peligrosa inclusive para él. Lo subieron a un tren rumbo a Francia en donde se reunió con sus padres, que habían regresado de la Guerra civil española tras apoyar a un grupo anarquista. En 1940, la familia fue encarcelada por el régimen de Vichy que colaboraba con los alemanes. Dos años después, Schapiro fue deportado a Auschwitz en donde perdió la vida en manos de los nazis.
En ese mismo año, a sus catorce años, Alexander arribó de alguna manera a Le Chambon-sur-Lignon, un pequeño pueblo en el Macizo Central de Francia, que fue centro de resistencia contra la ocupación alemana, en donde asistió a un colegio dedicado al pacifismo. Cuando había redadas por parte de la Gestapo, Alexander y otros compañeros se escondían en el bosque por unos días, divididos en pequeños grupos. Concluyó su bachillerato en 1945.
Después de la guerra liberaron a su madre Hanka, con la que Alexander tuvo una relación estrecha, hasta que ella falleció en 1957. Se mudaron a Montpellier, en donde Alexander estudió matemáticas. La universidad local no le fue de gran ayuda, por lo que principalmente fue autodidacta. En particular le interesaba lograr una comprensión profunda del espacio y la geometría, comenzando con la noción de lo que es un punto; esto lo inspiró a elaborar él sólo un concepto generalizado de integración.
Al parecer, Hanka obstruía su contacto con las chicas, lo cual ciertamente fue favorable para la intensidad de sus estudios. Sin embargo, más tarde engendraría cinco hijos con tres mujeres. Una de ellas fue su esposa en la década de los sesentas, Mireille Dufour, nacida en Normandía, un poco mayor que él, quien también tenía vínculos con el movimiento anarquista en España.
Una carrera de fábula
En el año de 1948 recibió una beca para mudarse a París, en donde entró en contacto con la investigación matemática. En particular, asistió al famoso Seminario Cartan. Grothendieck no fue nada tímido al discutir con eruditos famosos, era ambicioso y apasionado; en su libro autobiográfico de 1988 escribió: “fui matemático; un matemático que hace matemáticas en el pleno sentido del término, así como se hace el amor”.
Inicialmente esperaba que su trabajo independiente le proporcionaría un doctorado veloz. No obstante, resultó que había redescubierto la integral de Lebesgue, la cual se conocía desde principios del siglo xx. Toda su vida siguió entusiasmadamente sus propias ideas, le importaba poco la literatura y se informaba más bien en discusiones sobre los resultados relevantes.
Debido a que Alexander deseaba explorar espacios vectoriales topológicos, Henri Cartan y André Weil le recomendaron trasladarse a la Universidad de Nancy, al norte de Francia, en donde laboraba el experto Laurent Schwartz, también conocido como pionero en Teoría de las distribuciones, el cual apenas había recibido una Medalla Fields (se trata de la más alta distinción en matemáticas, considerada como equivalente al Premio Nobel). Schwartz le mostró a su nuevo alumno su último artículo, que cerraba con una lista de catorce preguntas relevantes para el tema de los espacios localmente convexos. Alexander inmediatamente introdujo nuevos métodos, los cuales le permitieron resolver todos esos problemas en pocos meses. ¡Había aparecido una superestrella matemática!, de veintidós años de edad, con una juventud caótica y con una formación escasa.
A pesar de su éxito, le fue difícil hallar empleo en Francia, particularmente porque no tenía ninguna nacionalidad. Su tutor comentó la desafortunada situación de este joven genio y le encontró una posición de visitante en la Universidad de São Paulo, en donde Alexander permanecería de 1952-1954. Durante ese periodo, el legendario presidente Getúlio Vargas estaba en el poder y Alexander terminó su tesis de doctorado sobre productos tensoriales y espacios nucleares (el segundo término él mismo lo introdujo). En ese tiempo, ya contaba con resultados suficientes como para seis tesis, cubriendo además el análisis funcional. Publicó en revistas brasileñas, en las cuales introdujo la Inequidad de Grothendieck. Impartía cátedra acerca de espacios vectoriales topológicos. Mientras, comenzó a cambiar su enfoque hacia la geometría algebraica, el campo en donde finalmente lograría su mayor impacto; involucró el análisis sistemático de las propiedades geométricas de las soluciones para ecuaciones polinomiales.
Alexander trabajó con máxima intensidad, pausando únicamente para dormir y comer. Su madre lo visitó en Brasil, lo cual parece haber evitado (de nuevo) que se distrajese. Según sus colegas, tenía una “existencia solitaria y espartana”, a veces sobreviviendo con leche y plátanos. Se frustraba cuando no lograba resolver un problema a pesar de su arduo trabajo. Aun así, los problemas a los que sí encontraba solución y los métodos introducidos por él impulsaban su meteórica carrera.
La época dorada
Luego de una estancia corta en Kansas, Grothendieck regresó a Francia. Junto con Jean-Pierre Serre, pronto se encontró laborando en el apenas fundado Institut des Hautes Études Scientifiques (Instituto de Altos Estudios Científicos), cerca de París, el cual se volvió famoso tanto en las matemáticas como en la física teórica. Allí lideró un grupo de matemáticos jóvenes brillantes.
De 1958 a 1970, fue una era de excelencia que coincidió con el auge del Grupo Bourbaki, con el que Grothendieck estaba en contacto y por algunos años fue miembro. Cuando un visitante se percató de que la biblioteca del nuevo instituto era incompleta, él replicó: “no leemos libros; los escribimos”.
Grothendieck manejó uno de los seminarios matemáticos más prestigiosos jamás visto en el mundo; una sesión podía durar entre diez y doce horas, dando lugar a notas improvisadas. Se le recuerda como un excelente maestro, capaz de explicar pacientemente hasta puntos “triviales” y con talento para sugerir el tema apropiado a cada miembro de su grupo. Su motivación era simplemente comprender, no competir.
Su estilo consistía en buscar una generalidad y una abstracción cada vez mayores (lo cual era una tendencia en las matemáticas del siglo xx), introduciendo nuevos términos y conceptos acertados y desmenuzando sus propiedades. Esto condujo a la redacción de miles de páginas sobre la fusión de geometría algebraica, aritmética y topología. Él se interesaba por conceptos nuevos y genéricos, tales como schémas, topos y motifs. Grothendieck casi no apreciaba las aplicaciones a las ciencias naturales como la física; incluso las demostraciones de teoremas matemáticos (como el de Riemann-Roch) le servían de inspiración, pero no eran la meta final. Sin embargo, las pruebas de Gerd Faltings sobre las Conjeturas de Tate y Mordell, así como la prueba de Andrew Wiles sobre el Último teorema de Fermat, todos ellos se pueden considerar aplicaciones de motifs.
Durante varios años, Grothendieck se dedicó a comprobar paso a paso aspectos de las conjeturas de Weil (originadas en 1949), lo que fue fuente de inspiración para asombrosos conceptos nuevos. Más tarde, en 1974, su ex alumno Pierre Deligne demostró el último punto de tales conjeturas.
En 1970, a la edad de cuarenta y dos años, Grothendieck se salió precipitadamente del Institut des Hautes Études Scientifiques y entró en una fase de su vida completamente distinta. Al poco tiempo, su brillante grupo de investigación se desmoronó.
Nuevos intereses y nueva vida
Hasta entonces, la vida de Grothendieck había estado casi enteramente enfocada a las matemáticas (más tarde lo llamaría su “largo periodo de frenesí matemático”) y su estilo de vida había sido un tanto burgués. La gente lo veía como amistoso, directo, nada arrogante, idealista; pero para asuntos más allá de las matemáticas, algo ingenuo. Sin embargo, otros temas le llegaban a la mente y con el tiempo se volvieron dominantes; en particular sintió un gran compromiso hacia el pacifismo.
Desde finales de la década de los cincuentas, en memoria de su padre vestía ropa de campesino ruso y se afeitaba la cabeza; además, le gustaba portar sandalias hechas de llanta. Al igual que otros intelectuales, se oponía a la Guerra colonial francesa en Argelia que ocurrió de 1954 a 1962. En 1966 ganó la Medalla Fields, la cual debía haber recibido en Moscú; sin embargo, no asistió como protesta ante el arresto de dos escritores rusos. De todas formas, en otras ocasiones visitó países de Europa oriental y sus ideas ejercían una fuerte influencia entre matemáticos rusos tales como Vladimir Drinfeld, Maxim Kontsevich, Yuri Manin y Vladimir Voevodsky.
En la década de los sesentas el movimiento estudiantil ganaba fuerza, culminando en mayo de 1968 en París. A Grothendieck le causó una profunda impresión, pero se encontraba del lado equivocado: se sintió atraído por el papel de inconformista y no por lo establecido. Era simpatizante del movimiento que, en parte, involucraba ideas anarquistas, pero no asistía a manifestaciones, ya que también en esto siguió su propio camino.
En 1967 recibió una solicitud desde Hanói pidiéndole literatura sobre geometría algebraica. Él no era consciente de que hubiese investigación matemática en Vietnam del Norte durante el peor periodo de la segunda guerra de Vietnam y proveyó tanto material como pudo. Es más, Alexander decidió viajar a Hanói en persona para impartir una cátedra. Entre su público se encontraba Ta Quang Buu, matemático y ministro de educación superior y tecnología, quien hacía preguntas frecuentes. Al poco tiempo, debido al incremento de bombas de racimo arrojadas por la Fuerza Aérea de Estados Unidos —entre otros, dos matemáticos perdieron la vida—, la cátedra tuvo que ser reubicada en un escondite en el bosque. En 2013, Neal Koblitz, matemático de los Estados Unidos, visitó este lugar; se sintió intrigado por el hecho de que el curso impartido allí podía haber sido enseñado con la misma calidad en la Universidad de Harvard, en donde entonces estudiaba.
Al regresar a Francia, Grothendieck dio pláticas acerca de su visita y redactó un reporte detallado, en el cual informaba al mundo acerca de la comunidad matemática en Vietnam del Norte. Mientras describía el Estado como algo sobre regulado, su reporte apoyaba firmemente a los desamparados por esa guerra destructiva que duró un total de treinta años y dejó cuatro millones de fallecidos.
La razón que había dado para dejar el Institut des Hautes Études Scientifiques en 1970 fue que éste recibía financiamiento de las fuerzas armadas francesas. Aunque esto significaba una fracción minúscula del presupuesto de dicho instituto, para él representaba un problema ético. Grothendieck consideraba inaceptable la investigación con propósitos militares; también por esto le parecía sospechosa la física, recordando Hiroshima y Nagasaki. Por otro lado, a pesar de que su estilo matemático fue extremadamente abstracto, sus conceptos sí se propagaron dentro de la física teórica, particularmente en la Teoría constructiva de campos elaborada en los setentas.
Sin embargo, pudieron haber otras razones involucradas en este cambio radical en su vida: conflictos con sus colegas en el Institut des Hautes Études Scientifiques, un decremento de su creatividad y la conciencia de que sus metas ambiciosas jamás serían completadas. Había delineado un programa monumental con la finalidad de escribir, en trece volúmenes, una serie titulada Elementos de geometría algebraica; “sólo” aparecieron cuatro volúmenes, conteniendo alrededor de mil ochocientas páginas.
De cualquier forma, Grothendieck cambió su estilo de vida. Se separó de su esposa Mireille y formó comunas; primero en París y luego al sur de Francia. Allí vivió con una variedad de personas (a veces tres de sus hijos se encontraban entre ellos) y se congregaban en mítines políticos. A la vez impartía cátedra en la Universidad de París-Sur y en el Colegio de Francia. En sus cursos tomaba la oportunidad de discutir temas tales como la amenaza por armas nucleares. Esto atrajo un público amplio, pero a la dirección del Colegio no le pareció, así que le negaron una posición permanente, a pesar de ser uno de los matemáticos más prominentes del mundo.
En 1973 se trasladó de vuelta a la Universidad de Montpellier y dio cátedra en todos los niveles. Se mostraba amigable con sus alumnos, quienes le apodaron Alejandro Magno. Ya no manejaba ningún seminario altamente ambicioso, pero aún contaba con varios estudiantes de doctorado y dirigía investigaciones excelentes. A pesar de ello, la agencia francesa de financiamiento para la ciencia (cnrs) sólo le proporcionaba un apoyo mínimo.
Entre 1973 y 1979 vivió en un pueblo minúsculo llamado Olmet-et-Villecun, a 50 kilómetros de Montpellier, en una casa sencilla sin servicio eléctrico (usaba lámparas de keroseno para trabajar de noche). No dudó en dar cobijo a personas sin hogar; generalmente, su casa se encontraba abierta a todos y se volvió punto de encuentro para el movimiento hippie.
En 1977, fue sujeto a una redada policiaca buscando cualquier ilegalidad. Pero todo lo que pudieron hallar fue a un ciudadano japonés quien allí se hospedaba, cuya visa francesa ya había caducado. Era una persona pacífica quien había estudiado matemáticas, pero en ese momento era monje budista. Medio año después (para entonces el monje llevaba largo tiempo fuera de Francia), a Grothendieck se le acusó de proporcionar hospedaje y alimento a un extranjero “en situación irregular”. Se autodefendió con un discurso apasionado y recibió el apoyo público de una gran cantidad de matemáticos, pero fue sentenciado a una pesada multa y a seis meses de suspensión.
Movimiento ambiental y pacifista
Mientras Grothendieck cuestionaba intensamente el sentido de la investigación científica (consideraba que en muchas discusiones nadie podía realmente hallar el porqué), se preocupaba más y más por los problemas ecológicos y el militarismo, específicamente por la amenaza de una guerra nuclear. Estaba convencido de que todo aquel que recibiera información relevante seguiría sus argumentos lógicos y estaría de acuerdo con sus conclusiones, y que él tenía como misión difundir el mensaje.
Cuando lo invitaron a dar una cátedra en una Escuela de verano en Montreal, aceptó bajo la condición de que se le permitiera no sólo hablar sobre matemáticas, sino también acerca de las amenazas a la humanidad. De hecho, algunos jóvenes matemáticos siguieron sus ideas y se volvieron activistas al igual que él.
También impartió doble cátedra en Estados Unidos, en donde además apoyaba los derechos de los indígenas americanos. Una alumna de doctorado llamada Justine Skalba se emocionó particularmente con su carisma y lo siguió por algunos años a Francia como su novia. Justine recuerda un mitin en Aviñón, en donde, hostigado por la policía, Grothendieck golpeó a dos oficiales y fue arrestado.
Junto con otros dos matemáticos franceses prominentes, Claude Chevalley y Pierre Samuel, fundó un grupo llamado “Movimiento internacional para la supervivencia de la raza humana”. Este grupo publicó la revista Vivre (Vivir), más tarde Survivre et Vivre (Sobrevivir y vivir), la cual hacía un llamado enfático por la paz y contra la contaminación; además, incluía discusiones críticas sobre el impacto de la ciencia y de la sociedad consumista. Alexander escribió un número considerable de artículos para dicha revista publicada entre 1970 y 1975 (se pueden consultar en la red).
En 1970, cuando asistió al Congreso Internacional de Matemáticas en Nice, junto con su hijo mayor Serge instaló un escritorio para distribuir dicha revista, así como para intentar reclutar nuevos miembros para su movimiento (sin mucho éxito). Los organizadores se opusieron obstinadamente hasta que Grothendieck movió su escritorio fuera del edificio, pero ahí tuvo problemas con la policía.
En una Escuela de verano en Amberes en 1972, Grothendieck interrumpió a gritos el discurso de inauguración dado por Serre, su antiguo compañero del Institut des Hautes Études Scientifiques. Se mostraba en contra de la otan (Organización del Tratado del Atlántico Norte), que patrocinaba el evento. No vacilaba en ser provocativo (l’enfant terrible), aunque esto condujera al resentimiento de amigos y colaboradores de muchos años.
Por supuesto se le confrontaba con el reclamo de que se comportaba de manera inmadura, sin embargo, en una larga plática de dos horas en 1972 que impartió en el cern, en Ginebra (disponible en Youtube), suena calmado y pensativo. Ahí explicó que se había distanciado de la comunidad científica con su competencia y la presión para publicar, que implican injusticia y poco favorecen la creatividad. Condiciones en las cuales se mantiene a los investigadores trabajando sin que éstos jamás se pregunten por qué. También recordó a algunos matemáticos que se habían suicidado. Más a fondo, señaló la razón por la que ahora consideraba de mucho mayor importancia tomar acción contra las amenazas a la humanidad.
A pesar de sus argumentos, del uso de su reputación académica y de sus habilidades retóricas, su grupo permaneció pequeño. Mayoritariamente atraía gente que desde antes compartía puntos de vista similares y, alrededor de 1973, se hizo patente una tendencia hacia la disolución. Grothendieck se decepcionó y consideró que sus esfuerzos habían sido un fracaso. Concluyó que la gente, incluso los científicos, estaban ciegos ante los peligros para el mundo y no se comportaban de forma racional.
Desde una perspectiva moderna, aparece como pionero del movimiento para la paz y el ambiente, que luego ejercería influencia en Europa y más allá. También al interior de la ciencia, las preocupaciones ecológicas fueron reconocidas más tarde, por ejemplo con el Premio Nobel de Química de 1995 otorgado por demostrar cómo peligraba la capa de ozono terrestre. Actualmente el calentamiento global debido a actividades humanas sólo es negado por personas que están en desacuerdo con la ciencia. Podríamos cuestionar entonces si el activismo de Grothendieck a principios de 1970 en verdad fue inmaduro o si, más bien, estaba adelantado a sus tiempos.
Meditación y aislamiento
Frustrado por su modesto éxito como activista, Grothendieck disminuyó las súplicas hechas al público. Siguió redactando largos manuscritos, algunos de más de mil páginas, como La Longue Marche à travers la théorie de Galois, pues estimaba de manera especial al matemático legendario Évariste Galois (1811-1832), a quien llamaba su hermano de temperamento (frère de tempérament); A la Poursuite de Champs y Esquisse d’un Programme, los cuales contenían ideas para matemáticas futuras. Efectivamente, ese Programme fue desmenuzado y resuelto por los jóvenes matemáticos Leila Schneps y Pierre Lochak, quienes se impresionaron con su visión tan avanzada. Lo contactaron y éste repentinamente mostro interés por la física (aunque lamentaba su falta de rigor).
Entre 1983 y 1988, también maestro de la redacción, Grothendieck escribió el libro Récoltes et Semailles, en el cual repasa su vida y trabajo, conjuntando todo tipo de elementos, tales como poemas de amor y comentarios (ocasionalmente críticos) acerca de la comunidad matemática y antiguos colegas. En la sección 2.20 aborda el tema de la física moderna. Desde una perspectiva matemática, consideraba que la teoría de relatividad de Einstein era “banal”, aunque sí apreciaba su importancia para nuestra noción de espacio y tiempo. Matemáticamente, sin embargo, describió la transición desde la teoría de Newton hasta la teoría de la relatividad, como si uno cambiase de un dialecto francés a otro, mientras que la teoría cuántica es como una transición al chino. Esto sí le parecía interesante por su profunda comprensión de lo que es un punto, y sospechaba una analogía con su concepto de toposes (espacios topológicos en los cuales un entorno se adjunta a cada punto).
En 1988 fue declarado ganador del prestigioso Premio Crafoord (dotado de 423 000 dólares) junto con su ex alumno Deligne, pero Grothendieck declinó. En una correspondencia cortés explicaba sus razones: en primera, no necesitaba el dinero y en cuanto a la importancia de su trabajo, eso lo decidiría el tiempo y los frutos, no los honores. Agregó que tales premios se entregan constantemente a las personas equivocadas, quienes ya no necesitan más riqueza ni glorificación. Planteó ¿esta “sobreabundancia para algunos” no salía “a costa de la necesidad de otros”? Finalmente, señalaba que aceptar “participar en el juego de los premios” implicaría su “aprobación al espíritu [...] del mundo científico”, dentro del cual la ética ha “disminuido hasta el punto en que el robo [plagio de ideas] descarado entre colegas (en especial a expensas de quienes no se encuentran en una posición en la cual puedan defenderse) se ha vuelto casi una regla general”.
En 1988 se retiró de la Universidad de Montpellier y en 1991 hasta de la sociedad; se desconectó de prácticamente todos. Se alejó hacia una vida sencilla en una aldea en los Pirineos franceses, en donde aún redactaba el programa matemático titulado Les Dérivateurs (dos mil páginas), el cual entregó a un amigo. Por otro lado, una vez quemó una cantidad enorme de documentos; se estima que fueron veinticinco mil hojas. Entonces su interés mayor se desplazó hacia la meditación y entró a la fase final de su vida, semejante al lobo estepario.
Desde 1970 le interesó fuertemente el budismo. Era vegetariano estricto y recibía visitas de eruditos budistas. También le fascinaban los símbolos del yin y el yang, autocaracterizando su estilo de investigación como yin. En este sentido, Deligne describe una prueba hecha por Grothendieck como una larga secuencia de pasos triviales: “parece que no sucede nada, pero al final allí está un teorema nada trivial”.
Más tarde, pasó a practicar una forma mística de cristiandad. Ayunó por largo tiempo, lo cual amenazó su salud. Se interesó intensamente por los sueños, ya que los consideraba mensajeros de sabiduría espiritual y estudiaba la interpretación de Sigmund Freud.
Como actividad principal siguió escribiendo; todos los días se pasaba muchas horas tecleando acerca de sus ideas místicas. A pesar de suponer que sus visiones fuesen relevantes para la sociedad futura, no deseaba publicar estos escritos. En 2010 apareció una carta extraña (pero muy bien formulada) y escrita a mano, en la cual exigió el retiro de todas sus obras de las bibliotecas.
Sólo un puñado de personas sabían en dónde vivía y si seguía con vida. No contaba con dirección postal ni teléfono, mucho menos acceso a la red y no recibía visitas inesperadas. Finalmente, el mundo se enteró de que había muerto el 13 de noviembre de 2014 en la aldea Saint-Lizier de los Pirineos franceses. Alexander Schurik Grothendieck, descansa en paz.
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Referencias Bibliográficas
Azevedo, Alberto de. 2008. “Grothendieck no Brasil”, en Matemática Universitária, vol. 44, pp. 39-42.
Bietenholz, Wolfgang y Tatiana Peixoto. 2015. “To the Memory of Alexander Grothendieck: a Great and Mysterious Genius of Mathematics”, en Ciência e Sociedade-cbpf, vol. 3, núm. 1, pp. 1-9. Grothendieck, A. 1985. Récoltes et Semailles, Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien. s. n. _____. 1989. “Grothendieck on Prizes”, en The Mathematical Intelligencer, vol. 11, pp. 34-35. Jackson, Allyn. 2004. “Comme Appelé du Néant-As If Summoned from the Void: The Life of Alexandre Grothendieck”, en Notices of the American Mathematical Society, vol. 51, núm. 10, pp. 1038-1056 y 1196-1212. Koblitz, Neal. 2013. “Grothendieck’s 1967 Lectures in the Forest in Vietnam”, en The Mathematical Intelligencer, vol. 35, pp. 32-34. Mumford, David y John Tate. 2015. “Alexander Grothendieck (1928-2014) Mathematician who rebuilt algebraic geometry”, en Nature, vol. 517, p. 272. Scharlau, Winfried. 2008. “Who is Alexander Grothendieck?”, en Notices of the ams, vol. 55, núm. 8, pp. 930-941. _____. 2011. Wer ist Alexander Grothendieck? Anarchie, Mathematik, Spiritualität, Einsamkeit. Books on Demand, Havixbeck, Alemania. En la red
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Wolfgang Bietenholz
Instituto de Ciencias Nucleares,
Universidad Nacional Autónoma de México.
Wolfgang Bietenholz nació en Suiza, estudió en el Instituto Federal de Tecnología de Zurich (ETH) y realizó su doctorado en física teórica en la Universidad de Berna. Antes de incorporarse como investigador titular al Instituto de Ciencias Nucleares de la UNAM en 2009, trabajó en el Centro Brasileño de Investigaciones Físicas (CBPF), en el Instituto Tecnológico de Massachusetts (MIT), en el Instituto Nórdico de Física Teórica (NORDITA) en Dinamarca, en el Sincrotrón Alemán de Electrones (DESY) y en la Universidad Humboldt. Sus temas de trabajo son: partículas elementales, teoría de campos cuánticos y mecánica estadística.
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cómo citar este artículo →
Bietenholz, Wolfgang. 2015. Alexander Grothendieck la fascinante vida de un genio matemático. Ciencias, núm. 117, julio-septiembre, pp. 4-11. [En línea].
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