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Sur sin norte,
la búsqueda
de una simetría electromagnética
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Elisa T Hernández
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¿Qué es lo que realmente nos da la sensación de elegancia
en la solución de una demostración?Es la armonía
de las diversas partes, su simetría, su feliz equilibrio;
en otras palabras: es todo lo que introduce orden,
todo lo que da unidad, que nos permite ver con claridad
y comprender a la vez el conjunto y los detalles.
HENRI POINCARÉ
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Ya lo decía Richard Feymann, “al hombre le fascina la
simetría”. Nos gustan las flores proporcionadas, tenemos atracción por los copos de nieve: equilibrados y armónicos, y mientras más simétrica es una persona, más bella la consideramos, pues la asimetría está asociada con la suceptibilidad a enfermedades y parásitos. Parece que es fácil entender la simetría de un objeto, pero ¿qué significa que una ley, ecuación o teoría posea simetría?
El epígrafe de Poincaré, reflexión que estoy segura que comparten muchísimos científicos y que desata los deseos más íntimos por buscar la simpleza, elegancia, sencillez y simetría a cada teoría confeccionada. ¿Qué significan estos adjetivos?, ¿cómo valoramos una teoría como sencilla? Para algunos estudiosos de la teoría del conocimiento, como Karl Popper, carece de interés si una demostración matemática o si una teoría es más sencilla o elegante que otra, pues sólo indica una preferencia estética o pragmática. Al menos que se iguale este concepto al de falsabilidad, en otras palabras, que digamos que una teoría o demostración es sencilla porque su contenido empírico es mayor y es más contrastable, es decir, que sus enunciados expresen más universalidad que los de la teoría o demostración reemplazada.
En este texto les relataré el planteamiento y la búsqueda de una partícula elemental teórica: el monopolo magnético, del cual, en este año se reportó una primera observación experimental. Comentaré las implicaciones científicas, particularmente para la física, de la simetría y la sencillez existente entre el campo eléctrico y magnético. ¿Búsqueda estética? Sí, porque como bien lo dice el polímata francés “hay un feliz equilibrio” al ver ecuaciones como en espejo; pero también un escudriño epistemológico, porque esta búsqueda de simetría termina de completar la teoría electromagnética.
Empalmar diestra y siniestra Ya los griegos clásicos conocían y estudiaban fenómenos magnéticos y eléctricos, pero se consideraban sucesos inconexos. Las investigaciones que se hicieron en los siglos XVII y XVIII obtuvieron resultados coherentes para cada experimento, pero fue en el siglo XIX que un fenómeno −casi fortuito− facilitó el empalme de estos dos terrenos de la física. Se cuenta que era un día de 1820 en el laboratorio de Hans Christian Ørsted, cuando a manera de serendipia acercó una aguja imantada (una brújula) a un conductor de corriente (un alambre por el que pasaba electricidad), y observó que la manecilla se deflectaba, situándose de manera perpendicular al cable. Con este reordenamiento, quedaba despreciada la influencia del campo magnético terrestre sobre la brújula, pues había cerca de ella un campo magnético más fuerte generado por la corriente de electrones que pasaba por el conductor. Sin abundar más, éste fue el primer vínculo experimental entre la electricidad y el magnetismo: derecha e izquierda se tocaron.
El descubrimiento de Ørsted inspiró la indagación de más fenómenos; se instauró una galería de experimentos, observaciones, ecuaciones, cálculos, leyes y teorías electromagnéticas. La tarea de amalgamiento cualitativo y cuantitativo de estos conceptos físicos lo hizo el británico James Clerk Maxwell en 1873 en Treatiseon Electricity and Magnetism. Salido en el Siglo de las Luces éste resumió los trabajos de Charles Coulomb, André Ampère y Michael Faraday.
¿Qué nos dicen estas leyes electromagnéticas? A vuelo de pájaro mencionaré esta síntesis maxwelliana, que junto con las leyes de Newton y las leyes de la termodinámica conforman la sustancia de la física clásica. Las llamadas ecuaciones de Maxwell (cuadro 1) nos dicen lo siguiente: Ley de Gauss. Relaciona el campo eléctrico con su fuente: la carga eléctrica. Ley de Gauss magnética. Nos dice que no existe el monopolo magnético. Ley de Faraday. También llamada inducción electromagnética, refiere a que se puede generar una corriente eléctrica en un circuito debido a un campo magnético variable. Ley de Ampère. Indica que las cargas en movimiento producen un campo magnético.
De lo anterior se desprende que un campo magnético variable en el tiempo genera un campo eléctrico y si éste cambia en el tiempo produce consecuentemente un campo magnético, y así sucesivamente. Tenemos aquí una hermosa teoría especular (en espejo), cuya única asimetría es que existe una partícula elemental eléctrica, pero no una partícula magnética elemental.
En honor a la simetría, Dirac conjeturó que deberían de existir partículas elementales magnéticas que originaran campos magnéticos y que al moverse produjeran campos eléctricos, tal y como lo hacen las cargas eléctricas (que al moverse producen campos magnéticos). Esta búsqueda de la aguja en el pajar había sido infructuosa por más de ochenta años −salvo falsos positivos−, hasta que en enero de 2014 un equipo de investigadores estadounidenses y finlandeses publicaron un trabajo que describe la observación de un “monopolo magnético de Dirac”.
El monopolo de Dirac Cada imán tiene un polo norte y un polo sur inseparables, ligados, es decir, cada vez que tengamos un magneto en la mano, tendremos intrínsecamente dos extremos en donde las fuerzas de atracción son más intensas: un norte y un sur. Si a éste lo partimos en dos, cada uno tendrá su polo norte y su polo sur. Al quebrarlo de nuevo volvemos a obtener dos imanes con sus respectivos polos. La intuición nos hace pensar que esta operación la podemos repetir un sinúmero de veces y obtener siempre el mismo resultado. Pero también de manera natural surge la pregunta de si existirá un límite para esas particiones y si es el caso, ¿cuál será éste?; ¿quizá el monopolo? Como se dijo párrafos antes, el campo magnético y el campo eléctrico están relacionados, incluso a nivel atómico. Pensemos en el átomo más simple, con un sólo electrón girando alrededor del núcleo. Si pensamos válidas las implicaciones de las ecuaciones de Maxwell, esta partícula eléctrica en movimiento genera un campo magnético, por lo que cada átomo puede verse también como un imán con sus respectivos polos. No hay norte sin sur en el electromagnetismo clásico. En 1931, en un artículo titulado Quantised Singularities in the Electromagnetic Field, Paul Dirac sugiere la existencia del monopolo magnético. El objetivo de ese artículo, lo expresa el físico británico, es demostrar que la mecánica cuántica no excluye la existencia de polos magnéticos aislados, por lo contrario, que cuando se sigue el formalismo de esta teoría cuántica sin restricciones arbitrarias, conduce inevitablemente a las ecuaciones de onda cuya única interpretación física es el movimiento de un electrón en el campo de un solo polo.
Esta sugerencia teórica, cuya reciprocidad apaciguaría de manera profunda la hermandad entre la electricidad y el magnetismo, no fue soslayada por el resto de colegas de Dirac, y desde hace casi un siglo se inauguró la temporada de caza de la huraña partícula.
Norte sin sur
El experimento mental de Dirac, tardó ochenta y tres años en “volverse realidad”. El 29 de enero de 2014, en la revista Nature se publicó un texto en el que se decía que unos investigadores estadounidenses y finlandeses habían encontrado un monopolo magnético. Para ser precisos, se decía que los físicos habían localizado un polo norte aislado en un campo magnético simulado en una nube de átomos de rubidio superfríos. No era la primera vez que los físicos echaban campanas a vuelo anunciando el vislumbramiento monopolar, pero hasta ahora nadie había confirmado una observación experimental directa de esta partícula tan esquiva. El equipo estadounidense del Amherst College en Massachusetts siguió la propuesta de los investigadores finlandeses de la Universidad Aalto: bajaron muchísimo la temperatura (cerca del cero absoluto, 0 K o −273.15 °C ) de un gas de alrededor de un millón de átomos de rubidio, con la finalidad de que este gas atómico se convirtieran en un estado cuántico de la materia llamado condensado Bose-Einstein y así ver el comportamiento de un electrón interactuando allí.
Cada uno de los átomos en el condensado Bose-Einstein posee un giro magnético, como una brújula pequeña o un imán, el cual interactúa con campos magnéticos aplicados desde el exterior. Para crear el monopolo, los investigadores manipula laron estos giros y concibieron un torbellino en el estado cuántico Bose-Eintein en cuyo punto final había un monopolo, figura 1.
La verdad es que si acercáramos una brújula a este monopolo sintético la aguja no se deflectaría hacia él, pues no es un norte magnético convencional, pero sí es lo más cerca que se ha estado de uno real, pues satisface todas las ecuaciones que rigen el monopolo magnético “natural”, en este experimento se reveló que tiene una estructura casi idéntica a la de un monopolo magnético de Dirac.
A pesar de la evidencia fotográfica que el equipo de Hall, Ray, Ruokokoski, Kandel y Möttönen presentó y demostrar que su descubrimiento satisface las ecuaciones esperadas, para algunos físicos este experimento está lejos de confirmar la existencia de los monopolos magnéticos y la llaman “una analogía matemática limpia y hermosa”.
La ciencia se edifica sobre modelos, con frecuencia se construyen realidades con variables acotadas, manipulables y controladas en un laboratorio para obtener resultados que después se contrastarán con realidad. Desde la visión más purista éste no es un monopolo magnético, pero esta simulación cuántica nos sirve para modelar otro sistema que es difícil de estudiar. Quizá entendiendo bien su comportamiento y las condiciones en las que se hallan estás tímidas partículas, sea más fácil redirigir la mirada y encontrarlas de manera natural.
Los investigadores siguen buscando los monopolos naturales, pues parafraseando a Dirac, encontrar esta partícula elemental restauraría la simetría (completaría) entre las ecuaciones para los campos eléctricos y magnéticos, pues la verdadera sorpresa recaería en que la naturaleza no hubiera usado esta idea tan elegante del norte y del sur aislados.
Ecuaciones especulares...
Al iniciar este texto mencionaba que las implicaciones de la simetría en esta teoría electromagnética tenía consecuencias estéticas, pero obviamente también físicas. Si se confirmara la existencia del monopolo magnético natural, las ecuaciones de Maxwell cambiarían y consecuentemente traerían implicaciones. A lo primero que conlleva dicha existencia es a confirmar que la carga eléctrica está cuantizada, es decir, que ésta no se puede dividir indefinidamente, que existe una carga elemental: electrón = 1.602176462 × 10-9 C y que el número de electrones que posee un cuerpo debe estar múltiplos de este valor fundamental. De manera consecuente, la carga magnética también debe estar cuantizada en unidades inversamente proporcionales a la carga eléctrica elemental.
Si el monopolo existe, es muy pesado (tanto como 1016 protones) y no podría haber muchos de ellos. Habría uno por cada 1015 protones, aunque la teoría dice que debería de haber un monopolo por cada protón; quizá el proceso de aniquilación monopolo-antimonopolo es mayor del que se estima y la densidad de carga magnética es mucho menor.
Pero entonces, ¿cómo cambian las ecuaciones de Maxwell con la existencia del monopolo magnético? En el prefacio de su libro The road to reality, Penronse nos invita a seguir su ejemplo y saltarnos las ecuaciones de su libro cuando éstas se ponen un poquitín engorrosas; así que aquí mismo les hago una incitación semejante: si usted tiene dificultad para comprender las ecuaciones del cuadro 1, mírelas de soslayo, no trate de entenderlas, simplemente apelaré a lo que casi es un lenguaje icónico: la simetría de sus términos.
Compare cómo cambian las ecuaciones de una columna a otra, si le es posible, revise término por término para que perciba que cuando se considera la existencia del monopolo magnético, entonces la Ley de Gauss eléctrica y la Ley de Gauss magnética son similares, casi como si una ecuación fuera la imagen especular de la otra. Lo mismo pasa cuando se compara la Ley de Faraday con la Ley de Ampère.
Con la existencia del polo magnético aislado también cambia la llamada fuerza de Lorentz; pues en su forma actual sólo considera la carga eléctrica. De modo que se debe cambiar la ecuación.
Esta simetría que desata la creación y manipulación de un monopolo de Dirac en un ambiente controlado abre una gama de nuevas investigaciones experimentales y teóricas, por ejemplo, las modificaciones a las ecuaciones de Maxwell y a la fuerza de Lorentz y sus consecuencias teóricas clásicas y cuánticas, es decir, sus límites de aplicación. En los años venideros llegarán más ajustes, simetría, armonía y más búsqueda de equilibrios, pues como lo decía Dirac “es más importante que las ecuaciones de una teoría sean bellas, que ajustar los datos experimentales”.
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Feynman, Richard. 2000. El carácter de la ley física. Tusquets, Barcelona. Flores Valdés, Jorge. 1997. La gran ilusión I. El monopolo magnético. FCE, México. Gibney, Elizabeth. 2014. “Quantum cloud simulates magnetic monopole”, en Nature News. Halliday, David, Robert Resnick y Kenneth S. Krane. 1999. Física Vol. 2. Compañía Editorial Continental, México. McAllister, James W. 1990. “Dirac and the Aesthetic evaluation of theories”, en Math. Sci., núm. 23, pp. 87-102. Penrose, Roger. 2004. The Road to Reality. Jonathan Cape, Londres. Popper, Karl P. 1997. La lógica de la investigación científica. Tecnos, Madrid. Ray, M. W., E. Ruokokoski, S. Kandel, M. Möttönen y D. S. Hall. 2014. “Observation of Dirac monopoles in a synthetic magnetic field”, en Nature, vol. 505, pp. 657-660. EN LA RED |
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Elisa T Hernández
Facultad de Ciencias, Universidad Nacional Autónoma de México. |
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como citar este artículo →
Hernández Acosta, Elisa T. 2014. Sur sin norte: la búsqueda de una simetría electromagnética. Ciencias, núm. 113-114, abril-septiembre, pp. 48-51. [En línea].
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| del facsímil | |
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Voluta levantada
o caracol.
Instituciones de Geometría
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Albrecht Dürer
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Es cierto que cuando queremos construir algo,
ha de establecerse primeramente su fundamento, ya se trate de algún edificio ya de cualquiera otra cosa. Por la misma razón nuestra voluta no se puede alzar sino después de que la misma ha sido puesta en un plano, como fundamento. Por esta razón, traza primero como fundamento la voluta desnuda precedente juntamente con su circunferencia, de la que fue hecha, omitiendo todas las hojas; pero conviene mudar en ella los números en esta forma: una vez que has circuido por el ámbito del 1 hasta el 12, penetras, con los demás puntos, al círculo por la misma voluta, numera ahí nuevamente 1, 2, 3, etcétera; esto se debe cambiar, y en vez de 1 se debe escribir 13, en vez de 2, 14, en vez de 3, 15, etcétera y se debe proceder así en seguida, continuando la numeración hasta 23.
Puesto así el fundamento, tira del punto 6 una línea recta hacia arriba, por el centro a y el signo 12, tan larga como sea necesario, y escribe la letra a en el término superior, de suerte que aquel punto quede directamente sobre el centro. En seguida corta la perpendicular a-a con la línea transversal c-d, abajo, junto al punto b. Hecho lo cual, divide la línea a-b superior mediante 23 puntos en 24 partes iguales. Sin embargo, yo alargaré los espacios superiores en este ejemplo, de la manera que establecí poco antes; por esto repito de nuevo el mismo procedimiento, fuera de que transpongo dos letras, pues pongo la a arriba y la b abajo, y comienzo a numerar en la parte inferior los puntos de las divisiones 1, 2, 3, etcétera.
Ahora, una vez que la línea a-b dividida de este modo con sus puntos y números, queda levantada al centro del fundamento, tiro una línea del punto 1 del fundamento hacia arriba, de suerte que corte la línea oblicua [¿por transversa?] c-d. En seguida, del punto 1 de la línea a-b saco una línea transversal hacia la línea elevada ya trazada; y donde esas dos líneas hacen ángulo, ahí escribo 1, y éste es el primer punto que empieza a subir en la voluta alzada o caracol. Lo mismo hago con todos los puntos y números del fundamento abatido y de la línea elevada a-b, hacia una y otra parte. De este modo, pues, se anotan cada uno de los puntos del caracol, desde el signo más bajo b hasta el más alto a, después continúo la línea sinuosa, de un punto a otro.
Asimismo, cuando sirviéndose de esta línea se hace un caracol hacia el techo de alguna torre, la grada ínfima debe ser mucho más larga que la suprema, y así, en un orden permanente, debe ser la inferior más larga que la superior, que descansa sobre sí. Por semejante razón, cada escalón debe ser más ancho conforme está más alto en el caracol.
Todo esto lo ilustraré aquí cuidadosamente, figura 1; en primer lugar la base del caracol sobre ésta, el caracol mismo con todas sus líneas, mediante las cuales fue dibujado, y en seguida la línea desnuda del caracol conducida hacia arriba sinuosamente. Esta línea puede correr estrechándose sobre sí misma o extenderse súbitamente hacia arriba, dependiendo esto de que la línea a-b sea prolija, y será útil para muchas obras. También dibujé aquí, figura 2, el triángulo a-b-c con su arco b-e, mediante el que alargué las partes superiores de la línea a-b, y con las demás líneas y números necesarios.
Estas líneas de los caracoles pueden hacerse también angulares, si entre dos puntos o números se omite siempre uno, como si en el caracol levantado llevaras una línea recta del punto b hasta el 2, del 2 al 4, del 4 al 6, etcétera, y así en seguida hasta la a.
Todavía se puede hacer otra línea de caracol, partiendo sólo de la circunferencia de la línea, que utilizan también los canteros al construir los caracoles y que, sin embargo, se llama más cómodamente cocliograma; pero llámese como se llamare, esta línea es muy útil, por esto enseñaré también a trazarla y el que la quiera estudiar podrá resolver muchas cosas con ella.
Así, pues, primeramente dibuja un círculo, como se dijo en las líneas anteriores; partiendo del centro a, divídelo por una línea perpendicular que pase por el centro a, en dos partes iguales, y junto a la intersección superior de la circunferencia y de la línea perpendicular escribe 12, y junto a la inferior, 6; en seguida lleva derecho la línea 6 -12 hacia la parte superior cuanto necesario fuere, cuyo término superior será a. Divide después la línea a-a por abajo junto al punto 12, mediante la línea transversal c-d, en ángulos rectos y esa división sea b, figura 3.
Divide ahora la circunferencia del círculo en 12 partes iguales y añade a los puntos de las divisiones sus números, comenzando a numerar 1, 2, 3, etcétera en el punto que está más cerca al 12, hasta que nuevamente regreses al 12. Pero conviene avanzar el número y, hasta donde fuere necesario, poner el uno sobre el otro; caerán, pues, el 13 sobre el 1, el 14 sobre el 2, etcétera. De esta suerte puede un número correr sobre sí mismo tres, cuatro o cinco y tantas veces cuantas las exija la obra, dependientemente de la altura que haya de tener el caracol por construir.
Una vez terminado el fundamento, divide la línea a-b en cuantas partes quieras, ponle a cada una sus números, comenzando a numerar 1, 2, 3, etcétera del punto b a la a, hacia arriba. Hecho esto, lleva una línea del punto 1 de la circunferencia hacia arriba, a través de la línea transversal c-d; en seguida, tira una línea transversal, del punto 1 de la línea a-b hacia la línea levantada antes trazada, y donde esas dos líneas hacen ángulo escribe 1. Haz lo mismo por todos los números de la línea a-b y del fundamento, y también en el número que corre arriba. Una vez que haya sido señalada la línea del caracol por puntos, llévala a mano libre de un punto a otro, de la manera como ves que lo hice yo aquí.
Esta líneas se pueden trazar angulares, de punto en punto. Este caracol se puede hacer doble en su circuito. Primero se hace recta y cilíndrica la columna que se levanta por la mitad del caracol; después se puede hacer también sinuosa, de suerte que desde arriba podamos ver, a través de ella, hasta abajo, lo cual los canteros deben tomar en cuenta sus trazos, y aplicarlo a la ejecución por la moción de las vigas fundamentales. Con la susodicha línea se hacen caracoles de uno, dos, tres o cuatro circuitos, etcétera, con los que se pueden mover moles fuertes y pesadas, como por milagro. Otros modos de hacerla Ahora, por un camino diferente al que seguimos arriba, enseñaré a realizar una voluta simple, de esta manera: escribe el cuadrante a-b-c del círculo y que el centro sea b, el ángulo superior a y c el ángulo y lo ancho, figura 4.
Divide en seguida ese cuarto de circunferencia a-c con once puntos en 12 partes iguales, las cuales debes numerar de a hacia c, y lleva de cada uno de los puntos de las divisiones unas líneas paralelas hacia la línea transversal b-c, ponle a ésta también números, como en el cuarto de la circunferencia, comenzando del punto c próximo de la división, y así tenemos la línea c-b dividida a partir del arco del círculo c-a, que es el primer fundamento. Debajo de éste describe ahora un semicírculo, partiendo del centro c, cuyo semidiámetro sea igual al lado del cuadrante b-c, y ese diámetro sea por arriba a y por abajo b. Divide en seguida el semicírculo a -b en 12 partes iguales, ponles a éstas también sus números, yendo de a a b, y traza unas líneas rectas de los puntos de los números al centro c. Hecho esto, toma el compás y ponlo con un pie en el centro b del cuadrante y con el otro en el punto 1 de la línea transversal c-b, y traslada este intervalo al semicírculo y, puesto un pie del compás en el centro c y el otro debajo de la línea a en la línea a-c, lleva de ésta hasta la línea 1-c un arco, a cuyo final, si puedes, escribe también 1. Ahora toma otra vez el compás y ponlo con un pie en el centro b del cuadrante y el otro en el punto 2 de la línea transversal c-b y, conservando esa abertura, desde el centro c del semicírculo escribe un arco de la línea 1-c hasta la línea 2-c, donde también, si tienes espacio, pon el número 2. Procede igual con todos los semidiámetros del medio círculo. Y al ir tomando todos los susodichos intervalos de la línea c-b del cuadrante, llevándolos a los semidiámetros del medio círculo, y ascribiéndoles a esos puntos sus números, se te va mostrando de qué manera debes llevar el circuito de la voluta del signo a de la circunferencia, a través de los puntos señalados, al centro c. Puedes también, siempre con el pie móvil del compás, continuar el arco de la línea a-c hasta el semidiámetro, y esto representa algo singular, como ves aquí. Asimismo haré también una voluta de este modo. En primer lugar pongo el centro a, desde el cual describo un círculo que, como el anterior, divido en 12 intervalos iguales y de cada una de las divisiones conduzco unas líneas al centro a, a las cuales les pongo también números aritméticos, asignándole a la última división el 12a, a las cuales numero 1, 2, 3, etcétera hasta que de nuevo regreso al 12. Divido después la línea 12 con 35 puntos en 36 partes iguales y comienzo a numerar por arriba, del punto 12, descendiendo hacia el centro a, figura 5. Hecho esto, pongo un pie del compás en el centro a y el otro en la línea 12-a, en el punto uno cerca del grado 16 [¿por 36?] y llevo de ahí un arco hasta el semidiámetro 1-a. Del mismo modo dejo en seguida el compás con un pie en el centro a, y el otro lo contraigo hasta el punto 2, en la línea 12-a, y escribo un arco de la línea 1 hasta la líneas 2-a. Estrecho así siempre el pie móvil del compás por un grado en la línea 1-a y trazo por orden un arco entre todos los semidiámetros hasta que haya dado la vuelta tres veces.
Una vez que he realizado todo esto con el compás, comienzo de nuevo del punto 12 de la circunferencia y llevo la voluta de un punto a otro, hasta que en la tercera revolución haya llegado hasta el centro, lo cual representé aquí con todas las líneas necesarias con las que se describe la voluta, y en seguida también la voluta desnuda.
Todavía haré otra voluta, figura 6, así. Desde el centro a describo un círculo, lo divido con seis puntos en otras tantas partes iguales y pongo números en esos puntos, de suerte que el 6 quede en el punto supremo de la división, y de cada una de las divisiones de la circunferencia llevo unas líneas al centro a.
En seguida divido la línea 6-a en 8 partes iguales y comienzo a proceder como arriba, poniendo un pie del compás en el centro a y el otro en los puntos 1, 2, 3, etcétera de la línea 6-a, transfiriendo siempre esas distancias a los semidiámetros del círculo hasta que se haya llegado el punto 7, como se dijo en el precedente, lo cual he dibujado aquí con todos sus lineamientos necesarios juntamente con la voluta desnuda.
NOTA El texto que aquí aparece se extrajo del libro Instituciones de Geometría de Albrecht Dürer, traducido del latín por Jesús Yhmoff Cabrera publicado por la UNAM en 1979. |
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Albrecht Dürer
Artísta alemán (1471-1528). |
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como citar este artículo →
Dürer Albrecht. 2014. Voluta levantada o caracol. Instituciones de Geometría. Ciencias, núm. 113-114, abril-septiembre, pp. 20-23. [En línea].
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