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Rita María del Río Chanona
     
               
               
El año pasado, en el Museo Nacional de Arte, en la ciudad
de México, miles de personas pudieron contemplar la exposición titulada Escher y sus contemporáneos; las obras de este artista han sido aclamadas tanto por el mundo artístico como por el científico, pues en sus dibujos logró una perfecta aleación entre belleza y simetría. Sin embargo, sus obras per se no son lo único interesante de este artista, su vida también nos ilustra cómo el ser humano busca la simetría de manera casi innata, sin tener concretamente definido su significado matemático.
 
La simetría no sólo es una noción fundamental en el arte, sino que también aparece en la naturaleza en una multitud de ejemplos, basta con ver la concha de un Nautilus, la forma de una flor o en general la simetría bilateral o de espejo que se encuentra en la mayoría de los vertebrados. En palabras de Herbet Read, “la ley más general en la naturaleza son los principios de equidad: balance y simetría, que guía el crecimiento de las formas a lo largo de las líneas de mayor eficiencia estructural”. Quizá sea por esto que la simetría interviene en nuestra idea subjetiva de lo bello, pues finalmente ésta no es más que proporciones adecuadas de las partes de un todo entre sí y con el todo del mismo.
 
Fue así como, influenciado fuertemente por tal simetría, Maurits Escher encontró su idea de belleza. Mauk, como era comúnmente conocido, nació en 1898 en Leeuwarden, Países Bajos, y desde niño mostró grandes habilidades para el dibujo, en contraste con su desempeño escolar, ya que sus notas eran bajas debido probablemente a que era muy enfermizo. En 1919 decidió estudiar únicamente artes decorativas en la cercana ciudad de Haarlem, en vez de arquitectura, debido a una persistente infección en la piel. Posteriormente viajó a España e Italia, en donde conoció la Alhambra de Granada, cuyos ornamentos le causaron gran impresión y más tarde influirían en varias de sus obras relacionadas con la partición de planos y patrones decorativos. Encantado por los paisajes, se estableció en Italia con su esposa Jetta Umicker.
 
Años después, debido al régimen de Mussolini, se muda a Suiza. Realiza viajes en barco por el mar Mediterráneo, donde encuentra un ambiente natural y humano que describió como una gran fuente de inspiración. Deleitado con ideas e imágenes de orden y simetría, Escher empezó a estudiar artículos académicos, como el escrito por George Pólya, que trata sobre los diecisiete grupos de simetrías en el plano.
 
El concepto de simetría no lo aprendió a partir de la geometría, sino fue una idea que se originó tras percibirla y admirarla, y luego buscar su descripción matemática. En otras palabras, no fue la geometría lo que le llevó a descubrir la simetría, sino la simetría la que despertó su interés por las matemáticas. Después de vivir cuatro años en Bélgica y tras volver a los Países Bajos a causa de la Segunda Guerra Mundial, comenzó su periodo de mayor productividad, pues el clima frío y nublado le ayudaba a concentrarse en su trabajo. Por último, en 1970, Escher se muda en ese mismo país a Rosa Spier Huis en Laren, a una casa de retiro en donde le permitían tener su propio estudio. Es allí donde muere, un día de marzo de 1972, a los setenta y tres años.
 
Grupos de simetría
 

¿Qué fue lo que impresionó a Escher en la Alhambra? Muchas de las decoraciones de esta construcción característica de la cultura árabe de los siglos XIII y XIV consisten en el recubrimiento de una pared con un cierto patrón que podemos asociar con la idea de un mosaico, es decir, una misma figura que se repite para cubrir una superficie (el plano) sin que queden huecos o se superpongan las figuras. A este recubrimiento se le conoce como “teselación”. Una primera observación es que sólo hay diecisiete maneras de cubrir un plano de esta forma, y a éstas se les conoce como “grupos de simetría del plano”.
 
Para entender estos diecisiete grupos de simetría es importante conocer las transformaciones geométricas que pueden tener las figuras, en especial las isometrías. En matemáticas, una transformación o función es una manera de asociar cada elemento de un conjunto con uno de otro conjunto. Si denotamos un conjunto A como todos los puntos de un círculo y un conjunto B como todos los puntos de una recta, podemos encontrar una transformación (de Möebius, por ejemplo) que mande todos los puntos del círculo a los puntos de la recta. Solemos resumir esta idea bajo la expresión “mandar el círculo a la recta”. Es posible por tanto tener una gran cantidad de transformaciones que pueden hacer múltiples cosas. Surge entonces la pregunta: ¿podemos clasificar las transformaciones en grupos para entenderlas mejor? Uno de estos grupos especiales es el de las isometrías; como su nombre lo dice, éstas son las que transforman un dibujo en otro, guardando la misma proporción de tamaño entre sí y respecto del plano o superficie en la que se encuentra. Desde el punto de vista de las matemáticas, consideramos la isometría como una transformación de un conjunto en sí mismo (puede ser un cuadro de Escher) que preserva la distancia.
 
Existen cuatro isometrías en el plano: a) la traslación, que es una función que mueve cada punto a una distancia igual, constante y en el mismo sentido; b) la rotación, que consiste en girar alrededor de un punto fijo; c) la reflexión, en la cual se mapean todos los puntos de una figura en otra posición equidistante a una recta o eje pero del lado opuesto; y por último d) la composición de una traslación y una reflexión, conocida también como “paso”, donde la dirección de la traslación es el eje de la reflexión (figura 1). La traslación, así como la rotación, dependen de un parámetro, que es la distancia que todo el conjunto recorre en la traslación y el número de grados que se gira en la rotación. Esto implica que rotar un ángulo 180°es distinto a rotarlo 120°, por ejemplo.
 
fig01 113A02
Figura 1. a) Traslación. b) Rotación. c) Reflexión. d) Composición de una traslación y una reflexión.
 
Lo que es realmente impresionante es que Evgraf Fedorov, en 1891, y Georges Pólya, en 1924, demostraron un teorema que establece que cualquier patrón con el que sea posible recubrir el plano puede ser clasificado según el tipo y número de isometrías por medio de las cuales recubra el plano en alguno de los diecisiete grupos de isometrías. Es decir, que cualquier teselación que encontremos logrará que un patrón o una figura dada recubra una superficie en una de estas diecisiete maneras. Es sorprendente pensar que sólo hay diecisiete formas de cubrir una superficie con diferentes isometrías, y que en estos grupos sólo hay rotaciones de 180°, 90°, 120° y 60°, lo que implica que no existe forma de cubrir una superficie con un mismo patrón aplicando las mismas isometrías periódicamente si tales isometrías tienen una rotación básica de 150°, 40°, 126°, por ejemplo. Debido a la perfección con la que se logra cubrir completamente el plano con estos diecisiete grupos de isometrías, se le conoce también como “grupo cristalográfico”.
 
Los diecisiete grupos comprenden desde los patrones básicos que recubren el plano trasladando únicamente el patrón conocido como el grupo p1, hasta algunos más complicados en donde el patrón se rota, se refleja y se traslada. En el cuadro 1 se muestran las isometrías que definen a cada uno de los diecisiete grupos, asi como la forma de clasificar una teselación en cada uno de éstos.
 
cuadro01 113A02
Cuadro 1. Clasificación y descripción de los diecisiete grupos de isometrías.  *Esta isometría no es necesaria para pertenecer al grupo.
 
Escher en la Alhambra

Aunque la demostración del teorema en el que trabajó Póyla es relativamente reciente, desde la Antigüedad podemos encontrar muestras de estos diecisiete grupos. La Alhambra es ejemplo de ello, sin embargo, lo que la distingue especialmente es que es la única edificación que cuenta con al menos una muestra de cada uno de los grupos de simetría en sus decoraciones. El Palacio de Comares, que se encuentra en su interior, es representativo; en sus decoraciones se destaca la teselación de la figura 2, en la cual aparece la figura básica en el recuadro blanco y los dos ejes de reflexión con las líneas punteadas y una rotación de 180° en el cruce de estas dos líneas que permiten obtener el patrón con el cual se cubre la superficie. Dado que se recubre el plano con dos reflexiones con ejes perpendiculares y una rotación de 180°, este patrón se clasifica, según la información del cuadro 1, en el grupo cmm.
 
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Figura 2. Decoración en la Alhambra. La teselación pertenece al grupo cmm. Figura 3. Teselación de Escher, sin rotación, pero con reflexión y composición entre reflexión y traslación.
 
Escher utiliza los mismos principios que se encuentran en las teselaciones de la Alhambra para hacer las propias (figura 3). A partir de la información del cuadro 1 podemos clasificar la teselación de dicha figura en el grupo cm, sin rotación, pero con composición de reflexión y traslación. Si nos fijamos únicamente en una franja de jinetes, ya sean claros u oscuros, observamos que con una simple traslación de la figura se cubre la fila; sin embargo para cubrir el plano es necesario hacer el movimiento llamado “paso”. Observemos la figura oscura de la esquina superior izquierda; reflejémosla sobre el eje (marcado con una línea negra) y trasladémosla como indica la línea punteada. De esta forma obtenemos el jinete blanco, que es la misma figura con la que se decora el plano.
 
 
 fig04 113A02
 Figura 4. Más y más pequeño, estructuras de la superficie.
 
Sin embargo, a pesar de la fuerte influencia de las decoraciones andalusís, sus obras siguen un amplio espectro de temas, entre los cuales hay tres principales: a) la estructura del espacio, en donde resalta paisajes, figuras matemáticas y espacios que se complementan mutuamente, como en Estrellas; b) las estructuras de la superficie, inspiradas por su visita a la Alhambra, en las cuales se aprecian diferentes particiones y plasma varias veces su aproximación al infinito, como en Más y más pequeño; y c) las proyecciones del espacio tridimensional en superficies planas, en las que se encuentran los famosos dibujos imposibles y que siguen las reglas lógicas de la tridimensionalidad, como en Cascada —aunque, bajo la idea de que la imagen es la proyección del espacio en un plano, rompe las bases lógicas de la tridimensionalidad y las leyes de la física.
 
A fin de poder entender mejor parte del pensamiento de Escher, me gustaría analizar uno de los dibujos expuestos en el Museo Nacional de Arte cuyo título ya mencionamos Más y más pequeño (figura 4). Esta obra cae dentro de la segunda clase de temas que definimos anteriormente, ya que es la división de una superficie que da la impresión de ser infinita.
 
fig05 113A02 fig06 113A02
Figura 5. Rotaciones en sentido contrario. Figura 6. Aparentes ejes de simetrías.
 
A primera vista podría parecer que el cuadro tiene varios ejes de simetría, cuando en realidad no tiene ninguno que funcione con una sola reflexión, aunque sí es posible encontrar varias composiciones de rotaciones y reflexiones que resulten en la división del cuadro en dos segmentos por medio de las diagonales (figura 5). Cada segmento rota 180°en sentido contrario alrededor del centro del cuadro (la intersección de las rectas blancas), que en este caso también es el centro de rotación —otra composición de funciones que nos dan como resultado la identidad. Las lagartijas adyacentes a las rectas negras (figuras 6 y 7) están relacionadas con dos isometrías, que corresponden a una reflexión en una recta que pasa por el origen (punteada) y a otra en la recta perpendicular a ésta (negra) también situada en el origen. Finalmente se cambia el color de las lagartijas de blanco a gris y viceversa, aunque para nuestros fines no estamos tomando los colores de los reptiles como diferencia en los patrones. Sin embargo, las lagartijas no adyacentes a las rectas negras no conservan la métrica (figura 7), por lo que no son isometrías. Si tomamos el par de lagartijas adyacentes a las líneas blancas de las figuras 5 y 6 como se muestra en la figura 8, para pasar de una lagartija a otra necesitaremos dos reflexiones por una recta, la cual pasa por el origen o centro del cuadro (negra), así como otra recta perpendicular a ésta, situada fuera del origen (punteada); pero además, la parte inferior de la lagartija (cola) y la superior (cabeza) se expanden o se contraen según el caso.
 
fig07 113A02 fig08 113A02
Figura 7. Isometrías de lagartijas adyacentes a las rectas negras de la figura 6. 
Figura 8. Relación entre las lagartijas no adyacentes a las rectas blancas de la figura 6.
 
Resulta entonces que el cuadro, aun cuando parece semejarse a las figuras 2 y 3, que son teselaciones clasificadas dentro de uno de los diecisiete grupos de simetría, no cae en ninguna de tales clasificaciones, lo cual se debe a que las lagartijas cambian de tamaño, por lo que se requieren transformaciones que permitan no conservar del todo las distancias. Para ello introduciremos entonces el concepto de “transformación afín”, la cual nos permiten rotar, reflejar y trasladar al igual que se hace con las isometrías; al utilizarla, podremos así contraer o expandir las distancias por medio de una constante. El hecho de que el factor sea constante es importante, pues gracias a esto se preserva la figura. Considero importante aclarar que esto no constituye una contradicción al teorema mencionado al principio, pues este último tenía como condición que fuese un mismo patrón (del mismo tamaño) que recubriera el plano y no como en este caso, uno que cambiase su escala.
Al utilizar transformaciones afines podemos recubrir todo el plano con un patrón en diferente escala. En la figura 9, el recuadro de la esquina superior izquierda (ashurada) muestra el patrón principal; observamos que no está compuesto de una sola lagartija sino de tres lagartijas especialmente acomodadas. En el recuadro con línea punteada en la esquina inferior derecha, podemos observar que tenemos el mismo patrón pero rotado 180°, que es una isometría contenida en el grupo de las transformaciones afines. El recuadro blanco muestra una homotesia, que es un cambio de escala de la figura principal (recuadro ashurado), en este caso una contracción. El recuadro negro muestra una rotación de 180° respecto de la principal compuesta con una contracción. Presenta también un cambio en los colores de las lagartijas, pero una vez más para nuestros fines no distinguimos entre ellos. Si observamos un poco más en detalle, podemos ver que hay ocho lagartijas negras del mismo tamaño que parecen formar un círculo, dentro del cual se encuentran otras ocho lagartijas negras más pequeñas pero del mismo tamaño, formando otro círculo. Esto se hace repetidamente, dando así la impresión de una infinidad de lagartijas.
 
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Figura 9. Transformaciones afines con las cuales se recubre el cuadro con el mismo patrón.
 
El hecho que esta obra utilice funciones afines junto con una asimetría en las lagartijas del patrón principal es lo que la hace especial. Curiosamente, aunque nuestra lógica parece indicar que toda partición de una superficie debe seguir siendo superficie —es decir, seguirá siendo plana y no curva—, en este cuadro tenemos la noción de profundidad en el centro, pues solemos estar acostumbrados a que, en una imagen, entre más arriba esté el objeto implica que está más al fondo. Entonces, ¿por qué tenemos esa noción de profundidad en el centro? Cuando nos fijamos en cada una de las lagartijas, observamos que son más grandes en el exterior que en el centro del recuadro, es decir, sus patas externas son más grandes que las internas. Lo que implica que la lagartija es asimétrica, lo cual difiere de nuestra forma de percibir la realidad, por lo que nuestra lógica nos lleva a negar tal asimetría y propone la noción de profundidad. Esto indica que nuestra mente niega primero la asimetría de una figura natural, que la conversión de un plano en cuerpo curvo, con simples particiones. Es decir que la idea de la simetría surge antes o es prioritaria a la de la geometría. Ya decía esto Paul Valéry: “el universo está construido sobre un plano cuya simetría es profunda y está presente de algún modo en la estructura interna de nuestro intelecto”.
 
En términos de transformaciones podemos pensar que en nuestra vida cotidiana estamos acostumbrados a las isometrías y no a las transformaciones afines. Lo cual parece ser bastante lógico, pues es común tomar una flor, rotarla, trasladarla y, con ayuda de un espejo, hasta ver una reflexión en su imagen; sin embargo, rara vez (por no decir ninguna) podemos expandir o contraer la flor.
 
Una reflexión final
 
Nuestra idea central es que, si bien las matemáticas estudian la simetría, ésta no es consecuencia de las matemáticas. La simetría es un concepto que surge de la naturaleza y que nosotros hemos buscado describir mediante las matemáticas. Escher encontró la belleza en la simetría de la Alhambra y después se adentró en los conceptos matemáticos; “reconocía que no le interesaba mucho la realidad, ni la humanidad en general, las personas o la psicología, sino sólo las cosas que pasaban por su cabeza”. Es por eso que en sus obras podemos observar imágenes, ideas, juegos visuales y soluciones a los problemas que buscaba plasmar. Temas que nos son naturales, imágenes a las que asociamos simetría cuando matemáticamente su ausencia se puede mostrar como se hizo en este ensayo. Mediante sus dibujos, Escher demuestra que la simetría forma parte de nuestra lógica innata y que precede aun a la lógica que aprendemos posteriormente. Finalmente, si tomamos la definición de Kant de belleza, como aquello que nos produce placer sin causa aparente, y apreciamos la belleza de sus cuadros, sólo podemos concluir que la belleza se puede lograr mediante simetría.
     
 
Referencias bibliográficas

Bracho, Javier. 2009. Introducción analítica a las geometrías. FCE, México.
Honeywell, Carissa. 2011. A British Anarchist Tradition: Herbert Read, Alex Comfort and Colin Ward. The Continuum International Publishing Group, Nueva York.

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____________________________________________________________
     
Rita María del Río Chanona
Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional Autónoma de México.
 
Rita María del Río Chanona es estudiante de quinto semestre de la carrera de Física en la Facultad de Ciencias, de la UNAM. El tema que le interesa es el modelaje matemático de sistemas complejos sociales y económicos.
     
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como citar este artículo
Del Río Chanona, Rita María. (2014). Simetría en nuestra mente. Ciencias, núm. 113-114, abril-septiembre, pp. 24-31. [En línea].
     

 

 

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