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Jose Luis Álvarez García y Damián Flores Sánchez      
               

Yo puedo agregar que si, como ahora me inclino a creer, la música fue el padre de la ciencia física moderna y las matemáticas su madre, nosotros estamos cerca de presenciar la arrolladora culminación de un monumental complejo de Edipo.

STILLMAN DRAKE

     
En la historia del pensamiento científico hay una relación muy
estrecha entre la física y las matemáticas, que ha sido enormemente fructífera para ambas disciplinas y se ha hecho todavía más profunda en nuestros días, al grado de que no es posible concebir la física sin las matemáticas. Esta situación y la fe que muestran los físicos al respecto se puede resumir en las palabras de Eugene P. Wigner, refiriéndose a la no razonable efectividad de las matemáticas:  el milagro de lo apropiado del lenguaje de las matemáticas para la formulación de las leyes de la física es un maravilloso regalo que nosotros ni entendemos ni merecemos. Nosotros deberíamos estar agradecidos por ello y esperar que permanezca válido en futuras investigaciones y que se extienda, para mejorar o empeorar nuestro placer, aunque quizá también nuestro desconcierto, hacia amplias ramas del aprendizaje”.

Sin embargo, no siempre fue así. La forma en que actual mente concebimos esta relación y que nos parece tan natural, no existía antes de Galileo. Fue a partir de su obra cuando se inició la construcción de dicho vínculo tal y como hoy lo conocemos; en el sentido de poner a prueba una regla preconcebida matemáticamente, planteada además como una hipótesis general válida respecto del mundo físico. La concepción actual no surgió espontáneamente, tiene sus antecedentes en la larga lista de pensadores que precedieron a la física galileana, pero a partir de la obra de Galileo la interrelación de las dos disciplinas se tornó compleja y la física una disciplina altamente matematizada. En esta primera entrega nos restringiremos al periodo que va de Pitágoras en el siglo VI a. C. a la época alejandrina. En los episodios de la historia aquí considerados, cada una de las disciplinas ha estado definida de manera específica y eso, además de tomar en cuenta el contexto histórico en general, ha determinado su interrelación.

Es justo éste el primer punto que surge al abordar el tema: el origen de las dos disciplinas. La impresión de que ambas surgen de primeros principios bien establecidos y bien definidos es común, pero no es así. El origen de ambas se encuentra en el ámbito de la experiencia; los números surgieron de la vivencia cotidiana de contar con los dedos de las manos y de la apreciación de la forma de los objetos manan las figuras geométricas. Asimismo, de la experiencia y el enfrentamiento del ser humano con los fenómenos naturales surge la física, necesariamente con las primeras explicaciones para la comprensión de la naturaleza.
En las civilizaciones antiguas, previas a la civilización griega clásica, las respuestas a las interrogantes sobre la diversidad, las causas y las explicaciones sobre los fenómenos naturales fueron dadas por las religiones. Es generalmente aceptado que los primeros intentos por dar explicaciones a los fenómenos de la naturaleza utilizando la razón, combinada de alguna manera con lo que perciben los sentidos, aparecieron en las costas del mar Mediterráneo en el siglo VI a. C. Estos intentos su pusieron un orden y una armonía detrás del incesante cambio y aparente caos en la naturaleza. Quedaron muy atrás las explicaciones basadas en la superstición y los designios de los dioses sobre el Universo y lo que en él acontecía.

Fueron los filósofos jónicos del siglo VI a. C. quienes hicieron el primer intento por obtener una explicación racional de los fenómenos de la naturaleza y del funcionamiento y la estructura del Universo. La filosofía natural o física de los jónicos fue un conjunto de audaces especulaciones, atrevidas conjeturas, así como brillantes intuiciones, más que el resultado de extensas y cuidadosas investigaciones que hoy llamaríamos científicas. Aquellos pensadores estaban, tal vez, demasiado ávidos por encontrar un panorama completo y general, por lo tanto, de esta forma llegaron a conclusiones excesivas en su afán totalizador por medio de sus teorías. Pero desecharon las antiguas y en buena parte míticas explicaciones y las sustituyeron por otras, objetivas y materialistas, sobre la estructura y el funcionamiento del Universo.

El paso decisivo para el desvanecimiento del misterio, del misticismo y del caos aparente en los acontecimientos de la naturaleza y para su sustitución por un modelo comprensible fue la aplicación de las matemáticas. Hay que señalar que con anterioridad al periodo de la Grecia clásica, existieron las contribuciones de muchas civilizaciones pasadas, entre las cuales la egipcia y la babilonia son las más importantes. Pero en todas ellas, esos rudimentos matemáticos no constituían una disciplina independiente y diferenciada: no tenían una metodología propia ni eran de interés para otras cosas que no fueran fines inmediatos y prácticos. Eran una herramienta, una serie de reglas simples y desconectadas que permitían a la gente resolver problemas de la vida diaria: calendarios, agricultura, metalurgia, construcción y comercio. Los babilonios, por ejemplo, conocían que la relación entre los lados de triángulos rectángulos semejantes era constante. Se llegaba a estas reglas mediante el tanteo, la experiencia y la simple observación, y muchas sólo eran aproximadamente correctas. Lo más que se puede decir de las matemáticas de estas civilizaciones es que mostraban un enorme vigor y perseverancia en su actitud más que rigor de pensamiento. El adjetivo “empíricas” podría muy bien caracterizarlas, las matemáticas empíricas de babilonios y egipcios sirvieron también como preludio al trabajo de los griegos.

La cultura griega no estuvo libre de influencias externas –de hecho, muchos de los pensadores griegos viajaron a Egipto y Babilonia– y las matemáticas debieron pasar por un periodo de gestación en la favorable atmósfera intelectual de Grecia. Tal y como señala Morris Kline, “al final, lo que los griegos crearon difiere tanto de lo que aprendieron de los demás como el oro difiere de la hojalata”.

El siglo VI a. C. fue el periodo de la historia en que la física y las matemáticas ya aparecen como actividades intelectuales formales, completamente diferenciadas y al margen de actividades prácticas. Este proceso tiene su origen en las colonias jónicas de Asia Menor: Mileto, Samos, Éfeso, Clazomene, etcétera; muy al principio las dos disciplinas aparecen por separado en los primeros pensadores jónicos, pero muy pronto serán unidas por Pitágoras.
 
Física y matemática de Pitágoras
 
Se atribuye a Tales de Mileto (639-545 a. C.) el establecer por primera vez proposiciones geométricas abstractas, es decir, independientes de cualquier aplicación práctica a la que pudieran destinarse. Éstas son cinco proposiciones sencillas en las cuales se postula advertir el intento consciente de establecer los fundamentos matemáticos sobre bases que fueran indudables e inamovibles: a) todo círculo es bisectado por su diámetro; b) en un triángulo isósceles los dos ángulos opuestos a los dos lados iguales son iguales; c) al cortarse dos líneas rectas se obtienen cuatro ángulos, de éstos, los que son opuestos son iguales; d) todo ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto; y e) dos triángulos son congruentes si tienen iguales un lado y dos ángulos. Así, para los pensadores de esta escuela, llamada milesia (Tales, Anaximandro y Anaxímenes), la fí sica consistía en dar explicaciones sobre cómo estaba construido el Universo y cuál era su origen, radicaba en la existencia de una materia primigenia (monismo materialista) a partir de la cual se había formado el mundo tal y como lo conocemos.

A diferencia de éstos, para la escuela fundada poco después por Pitágoras de Samos (580-496 a. C.), un discípulo de Tales que estableció un sistema filosófico de gran generalidad en donde las matemáticas son la piedra angular, lo importante era la forma y la estructura, pues son éstas las que pueden explicar la infinita variedad de objetos y fenómenos presentes en la naturaleza, mientras que la materia sola no puede dar tal explicación. Fue así como los pitagóricos plantearon que la forma y estructura esencial de la naturaleza eran los números y sus proporciones. Los pitagóricos encontraron dichas pro porciones entre números en la música cuando descubrieron dos hechos: primero, que el sonido producido al pulsar una cuerda depende de la longitud de la misma y, segundo, que los sonidos armoniosos son emitidos por cuerdas igualmente tensas cuyas longitudes son entre sí como las razones de números enteros.

Los pitagóricos también extendieron su teoría a la astronomía; redujeron los movimientos planetarios a relaciones entre números. Pensaban que los cuerpos que se mueven en el espacio producen sonidos y que un cuerpo cuando se mueve rápidamente produce un sonido o una nota más alta que cuando lo hace más lentamente. Así que, de acuerdo con esto y su astronomía, mientras mayor distancia había del planeta en cuestión a la Tierra, con mayor rapidez se movía aquél. Por lo tanto, los sonidos producidos por los planetas varían con su distancia a nuestro planeta y están armonizados, esta “música de las esferas” se reduce   –según los pitagóricos– a meras relaciones numéricas y lo mismo sucede, en consecuencia, con los movimientos planetarios. No escuchamos esta música, decían, porque estamos acostumbrados a ella desde que nacemos.

Había otros aspectos de la naturaleza que eran reducidos a números. Por ejemplo, los números 1, 2, 3 y 4, llamados el tetraktys, tenían una importancia especial para los pitagóricos. Se dice que el juramento de la hermandad pitagórica era: “juro en el nombre del tetraktys que ha sido conferido a nuestra alma. La fuente y las raíces de la naturaleza eternamente fluyente están contenidas en él”. Para ellos, la naturaleza está compuesta de tétradas, por ejemplo, la tétrada de los elementos geométricos: el punto, la línea, el plano y el sólido, así como por los cuatro elementos: tierra, agua, aire y fuego. Los cuatro números del tetraktys suman diez, por lo tanto éste es un número perfecto y simboliza el Universo. Así, los pitagóricos tenían una cosmología en la cual en el centro está un Fuego, luego los cinco planetas conocidos, la Tierra, la Luna y el Sol. Pero como 9 era un número imperfecto, agregaron una antitierra para tener diez cuerpos en el Universo. Tanto la antitierra como el Fuego central no pueden ser vistos. De esta manera, los pitagóricos construyeron una astronomía basada en relaciones numéricas. Como reducían la astronomía y la música a números, esas disciplinas se podían relacionar con la aritmética y la geometría, y los cuatro temas constituían las matemáticas y formaban el plan de estudios llamado quadrivium que siguió enseñándose así hasta el Medievo. La física, dentro de la doctrina pitagórica, no era un cuerpo de conocimientos separado formalmente; el estudio de los fenómenos de la naturaleza (incluida la astronomía) estaba subsumido en las matemáticas.

Para los pitagóricos, los números enteros y las proporciones entre ellos son inmanentes a la naturaleza. Esta idea y la poderosa capacidad deductiva que caracterizaba a los pensadores jónicos, paradójicamente fueron las causas de un fracaso en su doctrina, que estuvo a punto de provocar su desaparición como fraternidad. El revés tiene que ver con el descubrimiento de los números irracionales. Ellos hallaron que la longitud de la diagonal de cualquier cuadrado en proporción con la longitud de uno de sus lados no se puede expresar como una proporción (cociente) entre dos números enteros; resulta un número inconmensurable. Por ejemplo, si se tiene un cuadrado cuyos lados tienen una longitud igual a una unidad, la longitud de la diagonal está dada por el número √2, que es un número irracional. Encontraron que hay una multitud de tales números, a los que llamaron arrhetos, que significa impronunciables y, viendo el peligro que eso representaba para su organización, decidieron guardar celosamente el secreto. Hi paso, uno de los discípulos, reveló el misterio y fue condenado a muerte.

Para entender mejor la relación que había entre la física y las matemáticas en la escuela pitagórica hay que pensar que existía una síntesis entre religión y ciencia, pues en su doctrina se mezclaban la inmortalidad del alma, la magia y la numerología. En la fraternidad pitagórica aparece la unidad indistinguible del místico y del sabio, que se apartan uno del otro, aunque en ocasiones vuelven a unirse, pero finalmente acaban en la “casa dividida de la fe y la razón” de nuestros días donde –como señala Arthur Koestler– “los símbolos de ambas partes se petrifican en dogmas y la fuente común de inspiración se ha perdido de vista”. Así, al cabo de unos pocos siglos, la conciencia de lo unitario se desvaneció y el filosofar religioso y el racional se separaron.
 
La fraternidad pitagórica era una orden religiosa, una academia de ciencia y también un instrumento de poder en la política, lo cual contribuyó a su desaparición como fraternidad religiosa y política, pues sus seguidores fueron perseguidos y expulsados de los lugares donde exponían sus enseñanzas. No obstante, debido a su generalidad y capacidad unificadora para la explicación de la naturaleza, las enseñanzas pitagóricas no desaparecieron en lo esencial y se convirtieron en una de las fuentes del platonismo y entraron así en la corriente principal del pensamiento europeo. La influencia pitagórica de relacionar números y figuras geométricas en el estudio de la naturaleza se transmitió a pensadores posteriores, pero ya no continuó el carácter unificador que se suscitó en el saber original.

Física y matemática de Platón

A finales del siglo VI a. C. aparecen las figuras de Jenófanes y Parménides quienes, con una herencia pitagórica, plantean la preeminencia de las figuras circular y esférica en la naturaleza. Esta misma idea fue adoptada por Platón (428-347 a. C.) y la obsesión por el círculo y la esfera dominará el pensamiento en Occidente hasta principios del siglo XVII.

Para Platón, el mundo visible y sensible no es más que una vaga, imperfecta y opaca materialización del mundo de los arquetipos, un mundo en el que estaban las verdades absolutas, eternas e inalterables, y esa realidad absoluta sólo podía ser aprehendida por medio de las matemáticas, en particular por la geometría.

Mientras que con los pitagóricos los números y las formas geométricas eran inmanentes a las cosas, con Platón las trascendían. Plutarco relata en Vida de Marcelo que Eudoxo y Arquitas, discípulos de la Academia, utilizaban argumentos físicos para demostrar resultados matemáticos, provocando la indignación del maestro por lo que consideraba una corrupción de la geometría, puesto que utilizaban hechos sensibles en vez de razonamiento puro. Platón insistía en que la realidad y la inteligibilidad del mundo físico sólo pueden ser aprehendidas por medio de las matemáticas. No había duda para él de que este mundo estaba matemáticamente estructurado. Plutarco nos vuelve a referir la famosa frase de este filósofo griego: “dios geometriza eternamente”. En la República, Platón señala: “[la geometría] tiene por objeto el conocimiento de lo que existe siempre, y no de lo que nace y perece”.

La actitud de Platón hacia la astronomía ilustra su posición respecto del conocimiento que se debía perseguir. La disposición de las estrellas y los cuerpos celestes y sus movimientos aparentes son hermosos y maravillosos al percibirlos, pero las meras observaciones y explicaciones de los movimientos de los cuerpos celestes están muy lejos de ser la verdadera astronomía. Antes de que podamos alcanzar la verdadera ciencia “debemos dejar solos a los cielos”, ya que la verdadera astronomía trata de las leyes del movimiento de las verdaderas estrellas en un cielo matemático del que el cielo visible es solamente una imperfecta expresión. Animaba a sus discípulos a que se dedicaran a una astronomía teórica cuyos problemas, decía, deleitan la mente y no la vista. Los usos de la astronomía en navegación, elaboración del calendario y la medición del tiempo carecían por completo de interés para el filósofo ateniense.
 
Platón pensaba que los cuerpos celestes deben moverse en círculos perfectos y a velocidad uniforme. Los movimientos observados de los planetas parecían contradecir esta hipótesis, y planteó entonces este problema a los miembros de la Academia para explicar las irregularidades de tales movimientos. El astrónomo y matemático Eudoxo (390-337 a. C.) dio la respuesta requerida y la astronomía de éste se convirtió en la verdadera astronomía . Para Eudoxo, cada planeta se halla situado en la esfera interior de un grupo de dos o más esferas interconectadas y concéntricas, cuya rotación simultánea en torno a diferentes ejes reproduce el movimiento observado del planeta. Ni a Eudoxo ni a Calipo, otro discípulo de Platón, les interesaba construir un modelo que fuera físicamente posible, no tenían interés en el mecanismo real de los cielos; construyeron un dispositivo puramente geométrico que, como ellos sabían muy bien, sólo existía en el papel.

Con Platón, las matemáticas —específicamente la geometría— se entronizan como la ciencia por excelencia y el único medio para acceder a la realidad profunda de la naturaleza. La física, entendiéndola como el estudio de los fenómenos que captan nuestros sentidos, carece de importancia para el filósofo a teniense. De esta posición filosófica proviene el instrumentalismo que caracterizará a la astronomía que será desarrollada más tarde por Apolonio e Hiparco, para alcanzar su mayor desarrollo con Ptolomeo en el siglo II.

Física no matematizable
 
Aristóteles (384-322 a. C.) realiza una gran síntesis del conocimiento tomando algunos elementos de los pensadores anteriores, rechazando otros y aportando los propios. De hecho, y contrariamente a la filosofía unificadora que había enseñado Pitágoras, de Aristóteles proviene la primera división entre las distintas áreas del conocimiento (física, biología, lógica, meteorología, etcétera), y divide el Universo en dos regiones: por un lado, atendiendo a la filosofía de Heráclito, el mundo que está por debajo de la esfera de la Luna, que es la sede del cambio y lo imperfecto; y por otro, atendiendo a la filosofía de Parménides y de Platón, la región supralunar, la sede de lo inmutable y lo perfecto. Aristóteles añade más esferas homocéntricas, cincuenta y cinco en total, a la astronomía desarrollada por Eudoxo y Calipo, pero en lo que se refiere al mundo sublunar, no presenta ninguna referencia matemática.

En franca oposición con Platón, para Aristóteles el mundo verdadero es el que nos muestran los sentidos. No hay ninguna relación esencial entre matemáticas y el mundo físico, pues son géneros diferentes y no deben ni pueden, según él, mezclarse. Por esta razón –continúa– no debe confundirse la geometría con la física: el físico razona sobre lo real (cualitativo); el geómetra sólo se ocupa de abstracciones. La física de Aristóteles es una física de “cualidades”; así lo expresa en su obra: “la exactitud matemática del lenguaje no debe ser exigida en todo, sino tan sólo en las cosas que no tienen materia. Por eso el método matemático no es apto para la física; pues probablemente toda la naturaleza tiene materia. Por consiguiente, hay que investigar primero qué es la naturaleza”.
 
Es importante señalar aquí a qué nos referimos con el término “física de Aristóteles”, pues tiene tres significados diferentes. Uno de ellos es el contenido de su obra, que ha llegado hasta nosotros bajo el título de Física y que Andrónico de Rodas reunió bajo el título original griego de Physiké akróasis (Curso de física). Ésta trata sobre el movimiento y el cambio como fenómenos básicos de la naturaleza —entendiendo el movimiento como cambio en general. Aquí se distinguen cambios sustanciales, cuantitativos, cualitativos y locales. Un segundo significado es el que consideraba él mismo; Aristóteles tenía un programa de investigación amplísimo que incluía desde la metafísica hasta la ética, la política y la crítica literaria. El programa que enuncia en Los meteorológicos incluye temas que actualmente estarían en los campos de la astronomía, la física, la química, la geología, la biología y, en buena medida, la psicología.
 
Un tercer y último sentido es el de la teoría del movimiento local. Como ya se mencionó, Aristóteles desarrolló su teoría del movimiento como cambio en general; para él había cuatro tipos de cambio: sustanciales, cuantitativos, cualitativos y locales. Al explicar el movimiento local, desarrolla su explicación de la caída de los graves y del movimiento de proyectiles. Divide los movimientos en naturales y violentos. Entre los primeros se encuentra la caída de los cuerpos, y en los segundos está el lanzamiento de proyectiles. Los cuerpos graves caen hacia el centro del Universo (ocupado por el centro de la Tierra) porque están dotados de la cualidad de gravedad y al hacerlo se están dirigiendo al lugar que por su naturaleza –physis– les corresponde en el Universo. Mientras mayor sea su peso (cualidad de gravedad), mayor será la rapidez con la que se dirigirán al centro de la Tierra. De aquí se deriva la aseveración de que, en la física aristotélica, los cuerpos caen con una velocidad proporcional a su peso. Afirmación que constituye un serio anacronismo, pues la noción de peso, como fuerza gravitacional, y la de velocidad, tal y como se concibe en la actualidad, no existían para Aristóteles. Entonces, los cuerpos graves (constituidos fundamentalmente de los elementos agua y tierra) se moverán hacia el centro de manera natural; los cuerpos leves (constituidos esencialmente de los elementos aire y fuego) se moverán, también de manera natural, hacia la periferia del mundo sublunar, pues están dotados de la cualidad de levedad.

Los movimientos violentos, a diferencia de los naturales, necesitan de un motor. Un ejemplo es el lanzamiento de proyectiles, donde el motor (el brazo o la honda) transmite al móvil la cualidad del movimiento; sin embargo, surgía la pregunta: ¿cómo continúa moviéndose el móvil una vez que el motor ha dejado de estar en contacto con el primero?
 
Aristóteles expone la teoría de la “antiperístasis”, que consiste en que, al avanzar, el proyectil va dejando tras de sí un vacío y como la naturaleza no permite la formación de éste (horror vacui), el aire se dirige inmediatamente a llenarlo y, al hacerlo, empuja el móvil. Esta teoría nunca convenció a los especialistas que criticaban las explicaciones aristotélicas del movimiento, y como consecuencia surgieron teorías alternas. Este sentido de la “física de Aristóteles , como teoría del movimiento local, fue la que desarrollaron los críticos de Aristóteles, así como los eruditos medievales y la que llegó hasta Galileo y Newton.
 
Durante el siglo II a.C., Hiparco planteó la teoría del ímpetu como una explicación alterna a los fenómenos del movimiento que la física aristotélica no resolvía satisfactoriamente. Más tarde, en el siglo VI, esta teoría fue desarrollada por Juan Filopón y sería la base de todos los desarrollos posteriores en la física del movimiento hasta principios del siglo XVII. Todos estos desarrollos fueron hechos desde el estricto marco de la doctrina aristotélica. El ímpetu seguía siendo una cualidad” que se transmitía a los cuerpos para su movimiento y nunca se planteó como un concepto cuantitativo y mate matizable, debido a la premisa aristotélica de no mezclar los géneros de la física y las matemáticas; esta posición epistemológica se mantuvo en la obra de los eruditos medievales, quienes realizaron más que nada ejercicios lógicos en sus estudios del fenómeno del movimiento. No fue sino hasta la obra de Galileo que cambió la física de cualidades por una física cuantitativa, lo que permitió escapar del callejón sin salida al que la física no matematizable de Aristóteles había conducido el conocimiento.
 
En Alejandría, tres vertientes
 
Al terminar la preeminencia intelectual y cultural de Atenas, el desarrollo se traslada a Alejandría. Allí se da el segundo gran periodo de la cultura griega: helenístico o alejandrino. El término helenístico sugiere lo helénico y algo más: lo egipcio y lo oriental, pues en este lugar se dio uno de los más afortunados encuentros de la historia entre diversas culturas. Este periodo empieza poco después del año 334 a. C. cuando Alejandro Magno comienza sus conquistas. En el año 304 a. C., Ptolemaios I Soter se convierte en rey de Egipto y lo sucede su hijo, Ptolemaios II Filadelfo, quien reina hasta el año 246 a. C. Ésta es la época de oro del periodo alejandrino, del Museo y la Biblioteca. En el año 391, Teófilo (obispo de Alejandría de 385 a 412), deseando terminar con el paganismo, destruye el Serapeum (a nexo de la Biblioteca). Finalmente, los musulmanes acaban con lo poco que quedaba de la Biblioteca al saquear Alejandría en el año 646.

En esta etapa aparecen figuras como Euclides, Apolonio, Arquímedes, Hiparco y Ptolomeo. Aun cuando todos estos personajes incursionaron en variadas ramas del conocimiento como son las matemáticas puras, la mecánica, la óptica, la astronomía y la hidrostática, es posible dividir la obra de los pensadores alejandrinos en tres grandes vertientes en lo que respecta a la relación entre física y matemáticas: la geometría, el álgebra y la astronomía.

La académica de las matemáticas, directamente derivada de las enseñanzas de Platón, se concentró en una de sus ramas: la geometría. Aquí los máximos exponentes fueron Euclides y Apolonio, sobre todo el primero con sus Elementos, en donde expone la geometría con el método axiomático-deductivo, tan importante para las matemáticas y la ciencia. Apolonio contribuyó de manera también muy importante a la geometría con su tratado de las Secciones cónicas.
 
Euclides era de Atenas y es probable que haya conocido la Academia; vivió en Alejandría durante los reinados de Ptolemaios I y Ptolemaios II. Su obra los Elementos consta de trece libros, de los cuales del I al VI tratan de geometría plana; los libros del VII al X son sobre aritmética y teoría de números; mientras que los libros del XI al XIII hablan de la geometría de los sólidos. Si bien es cierto que no todo el contenido de la obra es original de Euclides, sí lo es en la mayoría de sus partes y también en lo que respecta a su método de exposición.

Una relación fundamental entre la física y las matemáticas, que se desarrolló a partir del postulado número 5 de los Elementos, el cual desempeña un papel de primerísima importancia en la historia de estas dos disciplinas, dice: si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán en el lado en el que están los [ángulos] menores que dos rectos”.

Ninguna proposición de los Elementos ha tenido una vida tan agitada como la de este célebre postulado. Aparecieron muchas proposiciones, lógicamente equivalentes, que se fueron haciendo explícitas a lo largo del proceso para reducirlo. Tal vez la más conocida es la afirmación de Ptolomeo: “por un punto exterior a una recta sólo se puede trazar una paralela .

Los múltiples intentos fallidos para reducirlo conducen a la creación de las geometrías no euclidianas. Muchos matemáticos talentosos creyeron que podían prescindir de este postulado y lo consiguieron, pero a expensas de introducir otro equivalente. El genio de Euclides radica en haber visto la necesidad de tal proposición y, por intuición, haberla escogido. La importancia de las geometrías no euclidianas es patente y fundamental en el desarrollo de la física contemporánea, concretamente en la relatividad general.

Euclides también elaboró otros dos tratados relacionados con la física: Óptica y Catóptrica, obras menores cuyas exposiciones ya fueron superadas. Dejó también textos sobre astronomía y música, aunque insignificante ante la importancia que ha tenido Elementos en el desarrollo del pensamiento científico. En algún momento se llegó a pensar que Euclides desconocía las demostraciones de los teoremas que aparecen en Elementos, pues hasta el siglo XII se conocían en Occidente muchas versiones de la obra en las que sólo aparecían teoremas sin demostraciones, y que éstas habían sido realizadas por Teón de Alejandría en el siglo IV. Esto resultaba insostenible, pues en caso de que Euclides no hubiera conocido las demostraciones no le hubiera dado a su obra el estricto orden lógico que presenta, orden que constituye la esencia y la grandeza de Elementos.

Algunos historiadores consideran a Euclides un auténtico seguidor de Platón, no obstante su estudio de la geometría se circunscribe a las matemáticas puras, poniendo énfasis en el aspecto lógico-deductivo, es decir, su concepción de las matemáticas estaba muy lejos de la adoptada por el filósofo ateniense basta recordar que tuvo intereses en óptica y astronomía utilizando la geometría que desarrolló como herramienta. Fue una posición muy diferente a la sostenida por Platón, que despreciaba todo aquel conocimiento que tuviera que ver con aplicaciones prácticas.

Otra rama de las matemáticas que se desarrolló durante el periodo alejandrino y paulatinamente fue adquiriendo importancia a lo largo de la historia fue el álgebra, aunque dentro de esta misma vertiente tuvo diferencias metodológicas sustanciales con la geometría de Euclides. En suma, los griegos legaron dos ramas de las matemáticas: la geometría deductiva y sistemática, y la aritmética con su extensión al álgebra. No obstante, el documento más antiguo que se conoce en el que aparece un desarrollo algebraico es el Papiro Rhind, en Egipto, fechado en el año 1700 a. C.

Durante el siglo III, en Alejandría, Herón y Diofanto trataron problemas aritméticos y algebraicos en un sentido totalmente diferente a los tratados por Euclides en geometría, esto es, sin buscar ni motivación ni fundamentación lógica. Herón formuló y resolvió problemas algebraicos por procedimientos puramente aritméticos, de hecho podemos afirmar que el álgebra apareció como una extensión de la aritmética. En esta época, los problemas que llevaban a plantear ecuaciones tenían comúnmente la forma de un enigma.

El punto más alto del álgebra griega alejandrina fue alcanzado por Diofanto, de quien se sabe vivió entre el año 100 y el 400 y se conoce con certeza que vivió ochenta y cuatro años, pues uno de sus seguidores describió su vida en términos de un acertijo algebraico. Introdujo algún tipo de simbolismo en el álgebra y aceptaba solamente raíces racionales positivas, ignorando todas las demás; no recurrió a la geometría en su método. Dado que los griegos clásicos exigían que los resultados matemáticos se derivaran deductivamente de una base axiomática explícita, el surgimiento de una aritmética y un álgebra independientes sin estructura lógica propia era contraria al concepto que éstos tenían del pensamiento matemático en el sentido axiomático-deductivo.

La segunda vertiente que se desarrolló en Alejandría respecto de la relación entre física y matemáticas fue en un sentido eminentemente práctico, y aquí la figura principal es Arquímedes (287-212 a. C.), quien aunque era de Siracusa estudió en Alejandría. Escribió Sobre la esfera y el cilindro, Sobre los conoides y esferoides y La cuadratura de la parábola, en las que trata del cálculo de áreas y volúmenes complejos utilizando un procedimiento introducido por Eudoxo y conocido como método de exhaución o de agotamiento, que es la base del cálculo integral. Sus trabajos sobre los centros de gravedad de los cuerpos y su teoría de la palanca constituyen grandes aportaciones a la teoría física y al mismo tiempo a la ingeniería. Lo que se deja entrever en su trabajo es la utilización de las matemáticas y la física para resolver problemas enteramente prácticos. En su obra no aparecen preocupaciones de carácter metodológico ni de fundamentación matemática, así como tampoco se ocupa de construir cosmología alguna.

Después de la astronomía y la mecánica, la óptica fue un tema de interés para los pensadores de la Grecia clásica. Se escribieron en la época helenística o alejandrina diversos trabajos sobre la reflexión de la luz en espejos de formas variadas. Arquímedes escribió la Catróptica y conocía muy bien las propiedades reflectoras de los espejos. Según se cuenta, estas propiedades fueron las que aprovechó para concentrar los rayos del Sol en las naves romanas que asediaban la ciudad de Siracusa y, de esta manera, incendiarlas.

Arquímedes es considerado como el fundador de la hidrostática y es famoso por su tratado de los cuerpos flotantes y en particular por su principio sobre el empuje que experimentan los cuerpos sumergidos en un fluido. Además inventó numerosos aparatos de utilidad práctica e incluso realizó importantes cálculos numéricos, como el del número π hasta cinco decimales. Es famoso también su libro El contador de arena, donde aborda el problema de la representación de los números grandes. Por todo esto es considerado el más grande ingeniero e inventor de la Antigüedad.

Otro personaje importante del periodo alejandrino es Eratóstenes de Cirene, quien fue director del Museo de Alejandría, que incluía su famosa biblioteca. Calculó con notable precisión la circunferencia de la Tierra y puede ser considerado en la misma vertiente que Arquímedes.

La astronomía fue la tercera disciplina que se desarrolló en Alejandría, la cual relacionaba la física y las matemáticas; los movimientos celestes eran explicados a partir del dogma de la preeminencia de las figuras circular y esférica en la naturaleza. Sobresalen aquí Hiparco y Ptolomeo. El primero es considerado el más grande astrónomo observacional de la Antigüedad, quien inventó la mayoría de los instrumentos utilizados por los astrónomos hasta el siglo XVI, compiló el primer catálogo de estrellas y realizó muchísimos estudios sobre la Luna. Introdujo, junto con Apolonio, los epiciclos y deferentes, reemplazando la teoría de las esferas homocéntricas desarrollada por Eudoxo. El epiciclo es un pequeño círculo que gira con movimiento uniforme alrededor de un punto situado sobre la circunferencia de un segundo círculo en rotación, el deferente; en esta teoría el planeta está situado alrededor sobre el epiciclo, y el centro del deferente coincide con el centro de la Tierra. Posteriormente se elaboraron técnicas más complicadas, agregándose excéntricas y ecuantes (la excéntrica es un dispositivo que corresponde a un deferente cuyo centro se encuentra desplazado respecto del centro de la Tierra; el ecuante es un punto, desplazado del centro del deferente, con respecto del cual la velocidad de rotación del planeta es constante).

La obra original de Hiparco no se conserva, pero se conoce bastante de ella pues es frecuentemente citada por Ptolomeo en su Almagesto, el cual fue publicado alrededor del año 150. En el sistema de Hiparco desaparece toda posibilidad de plausibilidad y con ello se continúa con la tradición instrumenta lista en la astronomía; bastaba con agregar epiciclos para incrementar la precisión del modelo sin importar qué tan real lo fuera; bastaba con “salvar los fenómenos”.

Es notable la versatilidad y el poder del sistema epiciclodeferente como método para ordenar y predecir los movimientos planetarios. No obstante, es sólo el primer paso para dar cuenta de las irregularidades más notorias de tales movimientos. Durante el tiempo que separa a Hiparco de Copérnico, todos los astrónomos técnicos más creativos se esforzaron por inventar nuevos dispositivos geométricos menores que convirtieran el modelo original de epiciclo-deferente en una base que se pudiera amoldar a los movimientos planetarios. En esta tradición, la contribución más importante fue realizada por Ptolomeo, quien recopiló la parte esencial de la astronomía griega y de su obra en el Almagesto, el primer tratado matemático elaborado de forma sistemática que daba una explicación completa, detallada y cuantitativa de todos los movimientos celestes. No obstante, tenía serias anomalías para la explicación de los movimientos planetarios y esto fue una de las razones que originaron la revolución copernicana. El Almagesto, que hasta el siglo XVII siguió siendo la biblia de la astronomía, consta de trece libros: los libros I y II son una introducción en la que se explican las proposiciones astronómicas y los métodos matemáticos, demuestra la esfericidad de la Tierra y postula la de los cielos girando en torno a la misma, que está inmóvil en el centro. En el libro III trata de la duración del año y de los movimientos del Sol; el libro IV de la duración del mes y de los movimientos de la Luna; el libro V de la construcción del astrolabio y continúa con los estudios sobre el Sol; el libro VI se habla sobre los eclipses de Luna y de Sol; en los libros VII y VIII tratan de las estrellas; finalmente en los libros IX al XIII se abordan los movimientos de los planetas.

El Almagesto está inscrito en la tradición instrumentalista de sólo “salvar los fenómenos”, la cual deriva de la doctrina platónica que consideraba el mundo visible como una copia imperfecta del mundo de los arquetipos. Así que para dar cuenta de los movimientos planetarios no debía basarse uno en lo que indican los sentidos, sino que éstos tienen que ser resultado del razonamiento puro, guiado por las matemáticas (la geometría), concretamente por el dogma de la preeminencia del círculo y la esfera. Fue así como se estableció primero el modelo de las esferas homocéntricas de Eudoxo y después se reemplazó por el modelo de Hiparco de epiciclos y deferentes. Un astrónomo “salvaba los fenómenos” si lograba inventar una hipótesis que resolviese los movimientos irregulares de los planetas en movimientos regulares según órbitas circulares, “sin atender al hecho de que la hipótesis fuese verdadera o no”, esto es, si es físicamente posible o no. La astronomía se convierte así en una abstracta geometría celeste, divorciada de la realidad física, cuya principal misión consiste en explicar y eliminar el escándalo de los movimientos no circulares del cielo; sirve, para efectos prácticos, como método para elaborar tablas de cálculo de los movimientos del Sol, la Luna y los planetas, pero nada dice sobre la naturaleza real del Universo.

El propio Ptolomeo establece claramente este punto: “creemos que el objeto que el astrónomo debe esforzarse por alcanzar es éste: demostrar que todos los fenómenos del cielo se producen por movimientos circulares y uniformes”. En otra parte escribe: “nos hemos impuesto la tarea de demostrar que las irregularidades aparentes de los cinco planetas, del Sol y de la Luna pueden representarse todas mediante movimientos circulares y uniformes, porque sólo tales movimientos son apropiados a su naturaleza divina [...] nos asisten razones para considerar el cumplimiento de esta misión como la finalidad última de la ciencia matemática basada en la filosofía”.

Ptolomeo también aclara que la astronomía debe renunciar a toda tentativa de explicar la realidad física, dado que los cuerpos celestes, en virtud de su naturaleza divina, obedecen a leyes diferentes de las que se dan en la Tierra. En esta vertiente alejandrina de la relación entre matemáticas y física, la primera, la geometría, vuelve a adquirir una total preeminencia sobre la segunda, la astronomía.

La astronomía matemática plasmada en el Almagesto era de una reconocida inexactitud y una asombrosa falta de economía. No obstante, gozó de una muy considerable longevidad. Las obras de Ptolomeo, así como las de Aristóteles, se tradujeron simultáneamente hacia finales del siglo XII, y hasta mediados del siglo XV los europeos no produjeron una tradición propia capaz de rivalizar con éstas. Por su flexibilidad, complejidad y potencia, la técnica del epiciclo-deferente no ha tenido parangón posible dentro de la historia de las ciencias. En su forma más elaborada, el sistema de las combinaciones de círculos era un logro asombroso. Sin embargo, jamás funcionó demasiado bien.
Referencias Bibliográficas
 
Aristóteles. 1980. Metafísica. Porrúa, México.
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José Luis Álvarez García
Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional Autónoma de México.

José  Luis Álvarez García es físico y Maestro en Ciencias por la Facultad de Ciencias de la UNAM; es doctor en Filosofía de la Ciencia por la Facultad de Filosofía y Letras y el Instituto de Investigaciones Filosóficas de la UNAM. Actualmente es Profesor Titular del Departamento  de Física de la Facultad de Ciencias de la UNAM. Sus áreas de trabajo son la enseñanza de la física y las matemáticas, así como la historia y la filosofía de la física.
 
Damián Flores Sánchez
Colegio de Ciencias y Humanidades,
Universidad Nacional Autónoma de México.
 
Damián Flores Sánchez es físico por la Facultad de Ciencias de la UNAM. Sus áreas  de trabajo son la enseñanza de la física y las matemáticas. Actualmente trabaja en el Colegio de Ciencias y Humanidades  de la UNAM.
     
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cómo citar este artículo

Álvarez García, Jose Luis; Flores Sánchez, Damián. 2014. La relación entre física y matemáticas a lo largo de la historia de Pitágoras a Galileo (parte I). Ciencias, núm. 113-114, abril-septiembre, pp. 98-113. [En línea].
     

 

 

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