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El caso
de los puntos
al infinito
Ana Irene Ramírez Galarza
   
   
     
                     
A mí me gustan las novelas de misterio. Edgar Allan Poe,
Sir Arthur Conan Doyle, Henning Mankell, Agatha Christie y Dashiell Hammett figuran entre mis escritores favoritos porque me han hecho pasar muy buenos ratos. Y así como en las novelas de misterio hay algo que debe ser explicado, algunas partes de la matemática tienen una historia de búsqueda de un objetivo no definido pero cuya existencia se manifiesta en algún hecho observado. Es el caso de los puntos al infinito. Tratándose de puntos que requieren un adjetivo calificativo, como los puntos límite, eso implica que tienen características especiales. Es un concepto no estudiado en los cursos obligatorios pero que se menciona de pasada y resulta difícil ubicarlo adecuadamente.
 
En Lectures on Analytic and Projective Geometry, Dirk Jan Struik explica en parte esta laguna: “en inglés no suele aceptarse el nombre de los elementos ‘al infinito’, excepto por el término mismo [...] como veremos, no siempre es adecuado”. Parte del problema puede deberse a que la noción original, el punto de fuga, no surgió de los científicos sino de los pintores. Para los matemáticos faltaba mucho por aclarar y, cuando se logró, se rompió la conexión con el origen. Evocar los diferentes momentos y personajes que ayudaron a definir varios conceptos y justificar la afirmación de que “el plano de la perspectiva es un modelo (local) del plano afín”, nos permitirá ilustrar esto.
 
La historia puede empezar con el tratado fundamental Diez Libros de Arquitectura del romano Marco Vitruvio, por quien Miguel Ángel sentía un profundo respeto. En el Libro Primero, apartado segundo, refiriéndose a los elementos de que consta la arquitectura, menciona la perspectiva (scenaria) y la define así: “la perspectiva es el bosquejo de la fachada y de los lados alejándose y confluyendo en un punto central de todas las líneas”.
 
Es decir, establece ya la idea de “punto de fuga”, aunque sólo sea uno.
 
Mucho tiempo después, ya no sólo con un afán utilitario, sino correspondiendo a la filosofía del Renacimiento, puede citarse parte del trabajo de Giorgio Vasari, Vidas de los más excelentes pintores, escultores y arquitectos, referida a Paolo di Dono, más conocido como Paolo Ucello, por lo bien que dibujaba las aves. Allí se subraya el esfuerzo para llegar a los conceptos y reglas que permiten lograr en un lienzo la representación fiel de una escena cotidiana: “Paolo Ucello hubiera sido el más delicioso y original ingenio después de Giotto en el arte de la pintura si se hubiera esforzado tanto en las figuras y los animales como se esforzó y perdió tiempo en las cosas de la perspectiva, pues aunque éstas son ingeniosas y bellas, quien se dedica inmoderadamente a ellas derrocha tiempo y más tiempo [...] Además, a menudo se vuelve solitario, extraño, melancólico y conoce la pobreza, como le ocurrió a Paolo Ucello que, dotado por la naturaleza de un ingenio sofístico y sutil, no encontraba placer mayor que el de investigar problemas difíciles e imposibles de la perspectiva [...] Y tanto se empeñó en esos problemas que ideó recurso, modo y regla para poner a las figuras en sus respectivos planos en que están paradas, para establecer los escorzos y para determinar la disminución gradual y proporcional a su tamaño, cosas todas ellas que anteriormente se dejaban al azar [...] Para tales estudios se condenó a la soledad, viviendo como un ermitaño, casi sin contacto alguno, encerrado en su casa durante semanas y meses, sin dejarse ver”.
 
Sin embargo, pocas pinturas renacentistas utilizan más de un punto de fuga. De hecho, todavía el famoso tratado de Leon Battista Alberti, De la pintura, contiene recetas poco precisas para lograr un dibujo en perspectiva, aunque ya contempla el trazado de diagonales que permiten verificar la corrección del dibujo en el papel de un enmosaicado que en el piso está formado por cuadrados e introduce una “línea céntrica” (figura 1), llamada después “línea del horizonte”.
 
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Figura 1. La línea céntrica se llamó después línea de horizonte.
 
Alberti hace un comentario importante: “una misma escena puede representarse con distintos puntos de vista”.
 
¿Exactamente qué nos permite reconocer que es la misma escena? La respuesta matemática debió esperar hasta el siglo XIX.
 
Leonardo da Vinci, en Tratado de la pintura, después de argumentar la superioridad de la pintura sobre la poesía y la música y consciente del trabajo que había costado obtener el método para pintar con fidelidad una escena real, afirma: “la pintura es un razonamiento mental mayor, de más alto artificio y maravilla que la escultura, pues la necesidad hace que el espíritu del pintor acoja en su espíritu a la naturaleza, transmutándola, haciéndose el intérprete de la naturaleza y el arte, comentando según leyes las causas de sus demostraciones”.
 
El establecimiento de las reglas de la perspectiva fue tan importante que llevó al grabador alemán Albrecht Dürer (Alberto Durero) a viajar a Venecia con el único fin de aprenderla y escribir un tratado, Instrucciones para medir con regla y compás, para que los estudiantes pudieran aprenderla. La xilografía de la figura 2 es, en sí misma, una receta para lograr el dibujo fiel de un objeto.
 
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Figura 2. Técnica con la que cualquier cosa que se ve y no está muy lejos de la vista, ha de ser medida con tres hilos y así transferida a la pintura.
 
Aunque los problemas de la pintura estaban casi resueltos, había varias cuestiones pendientes, como se lo planteó mucho tiempo después Maurits Cornelis Escher, grabador enamorado de las matemáticas sin haberlas estudiado formalmente: las perpendiculares al piso, que suelen dibujarse paralelas entre sí, también lucen convergentes en el cénit si miramos desde el suelo un edificio muy alto o en el nadir si ese mismo edificio lo miramos desde una altura considerable, como en la litografía Arriba y abajo de 1947, y además, ¿deben colocarse esos puntos de fuga en la línea del horizonte? Porque, si es así, se produce un verdadero desorden, como puede verse en la xilografía del mismo año Otro mundo II.

Consentir la existencia de dos puntos de fuga para las perpendiculares al suelo o para dos líneas paralelas en el suelo al girar media vuelta en medio de un sendero, viola el primer postulado de la geometría euclidiana que dice que “dos puntos determinan una [única] recta”. Tal era el problema que detenía la aceptación por los matemáticos de la geometría de la perspectiva.
 
El dilema lo resolvieron, cada uno por su lado, el alemán Johannes Kepler y el francés Gérard Desargues: cada recta debía tener un único “punto al infinito”; con lo cual se creó otro problema: las rectas se cierran con ese punto.
 
El arquitecto Desargues fue un geómetra autodidacta que publicó el llamado Brouillon Project para exponer los resultados de Apolonio de Perge, usando el método de proyecciones y secciones, y sin usar las coordenadas recientemente creadas por Pierre de Fermat y René Descartes. Desargues propuso conformar con todos los puntos al infinito una “recta al infinito” y que dos planos paralelos debían compartir ssu recta al infinito, es decir, que en el espacio hay una recta al infinito para cada familia de planos parelelos y con todas esas rectas se forma un “plano al infinito”.
 
Johannes Kepler fue, en cambio, un científico reconoci­do y fundamentó añadir en el comportamiento de la función tangente sólo un punto al infinito a cada recta: la pendiente de una recta es invariante al cambiar el sentido en que se recorre. Con esa observación ya podían los matemáticos caracterizar los puntos al infinito: en el plano, un punto al infinito es la pendiente de una familia de paralelas. Para que se vea lo atinado de esta caracterización, basta considerar las muy conocidas curvas cónicas (figura 3) y observar el comportamiento de sus rectas tangentes.
 
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Figura 3. Comportamiento de las rectas tangentes de las curvas cónicas.
 
En el caso de una elipse, cuando un punto se mueve a lo largo de ella, las tangentes correspondientes no muestran un comportamiento definido a diferencia de las otras dos: para una parábola, la recta tangente tiende a volverse paralela al eje focal cuando el punto se aleja indefinidamente del vértice; y en el caso de una hipérbola, la recta tangente se parece cada vez más a la asíntota a la cual se acerca cuando el punto se aleja indefinidamente del vértice de la rama. El concepto de “asíntota” es verdaderamente bello: para que una recta sea asíntota de una curva suave, ésta debe acercase tanto como se quiera a la recta, sin tocarla y pareciéndosele cada vez más. Decimos entonces que la elipse no tiene puntos al infinito, que la parábola tiene uno: el del eje focal; y que la hipérbola tiene dos, los de las pendientes de sus asíntotas.
 
El suizo Leonhard Euler fue quien acuñó el término “geometría afín” para aquella que incorpora los puntos al infinito y permite transformaciones que lo preservan. Es importante notar que si le pegamos a una parábola su punto al infinito, obtenemos una curva cerrada, lo mismo que si le pegamos a una hipérbola los dos que le corresponden, sólo que en este caso tendríamos que darle media vuelta al papel (infinito) donde la hubiéramos dibujado. Eso suena a una banda de Möbius… y es verdad.
 
Ferdinand August Möbius apareció en escena un poco después de Euler, pero su ahora popular banda permitió acabar de entender cuál es el aspecto que tiene un objeto donde viven las rectas de un plano, si a cada una le pegamos su punto al infinito. En la figura 4 se muestra cómo debe construirse tal objeto.
 
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Figura 4. Pasos para construir una banda de Möbius. 
 
Cualquiera puede intentar formarlo tomando una bolsa del súper, cortando las asas, dividiendo el borde en cuatro y pegando con cinta adhesiva las partes primera y tercera a la manera del dibujo. Al pegar estamos identificando en uno los dos extremos de cada diámetro de un círculo por definir en una única dirección.
 
Una vez hecha esa identificación no es posible, por ser nuestro espacio tridimensional, pegar las partes segunda y cuarta sin interferir con el pegado anterior. El modelo que resulta es, salvo el problema del último pegado, el llamado “plano proyectivo”, que ciertamente contiene una banda de Möbius.
 
Cuando se distingue la curva continua donde se hizo el pegado —la llamada recta al infinito porque contiene todos los puntos al infinito—, resulta el “plano afín”. El plano del dibujo en perspectiva nunca muestra la parte problemática del pegado, por eso lo llamamos al principio “modelo local del plano afín”.
 
Lo maravilloso del caso es que sí es posible meter coordenadas en el plano afín y que hay un grupo de transformaciones que resuelve la pregunta sugerida por Alberti: aquello que permite pasar de un dibujo a otro realizado con un punto de vista distinto, es simplemente la composición de una transformación lineal no singular con una traslación (llamada “transformación afín”) como lo muestra la
figura 5.
 
a)fig05a 113B02
b)

fig05b 113B02

Figura 5. a) Con la transformación afin es posible pasar de un dibujo a otro con un punto de vista distinto. b ) La razón doble ( A, B; C, D ) es igual a la razón doble (A’, B ’; C ’, D’ )
 
Las transformaciones afines no conservan distancias ni ángulos, pero sí la razón doble entre cuatro puntos de una recta; es el invariante mágico bajo proyecciones que permite el reconocimiento de escenas tomadas con distintos puntos de vista. El cerebro aprende a manejar ese tipo de transformaciones sin concientizarlas, en forma similar a cómo se aprenden las estructuras de la lengua materna.
 
En una plática famosa conocida como Programa de Erlangen, Felix Klein definió la geometría como el estudio de invariantes bajo un grupo de transformaciones; el concepto de grupo se debe al francés Evariste Galois. El libro Introducción a la geometría avanzada se basa en el enfoque de Klein; bajo él podemos decir que la geometría afín es el estudio de los invariantes bajo el grupo de las transformaciones afines. Más aún, como dice Pierre Samuel, la geometría afín resulta de la geometría proyectiva si, del grupo proyectivo (que estudia los invariantes bajo proyectividades), se considera el subgrupo que fija una recta, la que llamamos recta al infinito; y si se considera el subgrupo que fija una cónica, resulta la geometría hiperbólica.
 
El recorrido para aclarar cómo tratar con los puntos al infinito nos llevó de Vitruvio (siglo I a. C.) hasta Klein (siglo XX), pasando por Galois (principios del siglo XIX) y Möbius (mediados del siglo XIX). Los matemáticos se preguntan “¿qué pasa con esto?”
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
 
Birkhoff, G. y S. Mac Lane. 1963. A survey of modern alge bra. Macmillan, Nueva York.
Escher, Maurits C. 1990. The Graphic Work. Taschen, Singapur.
Klein, Morris. 1990. Mathematical Thought from An cient to Modern Times. Oxford University Press, Oxford.
Ramírez-Galarza, Ana y José Seade. 2013. Introducción a la geometría avanzada. UNAM, México.
Samuel, P. 1988. Projective Geometry. Springer Verlag, Nueva York.
Struik, D. K. 1953. Lectures on Analytic and Projective Geometry. Addison-Wesley, Boston.
Vasari, Giorgio. 1996. Las vidas de los más excelentes pintores, escultores y arquitectos.  UNAM, México.
Vinci, Leonardo da. 1964. Tratado de la pintura. Espasa, Calpe.
Yaglom, Isaak. 1988. Felix Klein and Sophus Lie: Evolution of the Idea of Symmetry in the Ninteenth Century. Birkhäusser, Boston-Basel.
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Ana Irene Ramírez Galarza
Facultad de Ciencias,
Universidad Nacional Autónoma de México.
     
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como citar este artículo
Ramírez Galarza, Ana Irene. 2014. El caso de los puntos al infinito. Ciencias, núm. 113-114, abril-septiembre, pp. 32-35. [En línea].
     

 

 

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