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¿3 = 3? Lo que un número es o no es
 
Héctor Zenil Chávez
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Du­ran­te fi­na­les del si­glo XIX y prin­ci­pios del XX se dis­cu­tía apa­sio­na­da­men­te so­bre al­gu­nos de los con­cep­tos más pro­fun­dos de los fun­da­men­tos de la ma­te­má­ti­ca. Fre­ge, un de­fen­sor del lo­gi­cis­mo, aque­lla co­rrien­te que an­te­po­ne la ló­gi­ca co­mo fun­da­men­to de la ma­te­má­ti­ca, de­fen­dió una con­cep­ción se­gún la cual los ob­je­tos de las ma­te­má­ti­cas son abs­trac­tos, eter­nos pe­ro in­de­pen­dien­tes de nues­tra men­te. Se­gún Fre­ge, el ac­ce­so a los ob­je­tos ma­te­má­ti­cos, ta­les co­mo los nú­me­ros y las co­lec­cio­nes de nú­me­ros, se po­día ha­cer úni­ca­men­te me­dian­te la ló­gi­ca —es lo que se de­no­mi­na pla­to­ni­cis­mo o rea­lis­mo. Así, por ejem­plo, el ce­ro pue­de ser re­co­no­ci­do for­mal­men­te co­mo el con­jun­to de to­dos aque­llos in­di­vi­duos que no son idén­ti­cos a sí mis­mos. Es­to sig­ni­fi­ca que pa­ra Fre­ge el con­cep­to de iden­ti­dad es un con­cep­to ló­gi­co. Sin em­bar­go, su pers­pec­ti­va lo­gi­cis­ta fra­ca­só de­bi­do a la pa­ra­do­ja de las cla­ses que no son miem­bros de sí mis­mas, la fa­mo­sa pa­ra­do­ja de Rus­sell, aque­lla en don­de el bar­be­ro só­lo pue­de cor­tar la bar­ba a los que no pue­den cor­tár­se­la a sí mis­mos, por lo que, ¿quien cor­ta en­ton­ces la bar­ba del bar­be­ro?
 
Pa­ra Fre­ge era im­por­tan­te en­con­trar la ma­ne­ra de de­fi­nir con pre­ci­sión lo que un nú­me­ro es o no es, ya que de ello se des­pren­día la res­pues­ta a si el nú­me­ro 17 es igual a Ju­lio Cé­sar (17 = Ju­lio Cé­sar). Cier­ta­men­te, una com­pa­ra­ción de es­te ti­po pu­die­ra pa­re­cer ex­tra­ña e in­com­pren­si­ble al lec­tor, pe­ro pa­ra Fre­ge era un asun­to im­por­tan­te.
 
 
Sí exis­ten las pre­gun­tas ab­sur­das
 
 
Por el con­tra­rio, pa­ra Be­ne­ce­rraf, uno de los pio­ne­ros de la co­rrien­te es­truc­tu­ra­lis­ta, es­ta pre­gun­ta no es im­por­tan­te ni tie­ne sen­ti­do. En su ar­tí­cu­lo “Lo que los nú­me­ros no pue­den ser”, Be­ne­ce­rraf co­mien­za con una pa­ro­dia de dos per­so­na­jes, Er­nie y Johnny, dos ni­ños hi­jos de lo­gi­cis­tas, quie­nes apren­den arit­mé­ti­ca me­dian­te teo­rías de con­jun­tos. Uno de ellos lo ha­ce a la ma­ne­ra de John von Neu­mann y el otro a la ma­ne­ra de Er­nest Zer­me­lo, au­to­res que de­fi­nen de ma­ne­ra dis­tin­ta la cons­truc­ción de los nú­me­ros na­tu­ra­les me­dian­te con­jun­tos.
Zer­me­lo cons­tru­ye los nú­me­ros de la si­guien­te for­ma: el uno es el con­jun­to que con­tie­ne el va­cío, el dos es el con­jun­to que con­tie­ne el va­cío y el con­jun­to que con­tie­ne el va­cío, y así su­ce­si­va­men­te. Es de­cir,
 
 
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Mien­tras que Neu­mann los cons­tru­ye de la si­guien­te ma­ne­ra: el uno es el con­jun­to que con­tie­ne el va­cío, pe­ro el dos es el que con­tie­ne el con­jun­to que con­tie­ne el con­jun­to va­cío, y así su­ce­si­va­men­te. Es de­cir,
 
 
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Es­to trae con­si­go un pro­ble­ma, que si los nú­me­ros son ob­je­tos, en­ton­ces de­be­rían po­der­se iden­ti­fi­car ple­na­men­te me­dian­te sus pro­pie­da­des. Sin em­bar­go, una pro­pie­dad en par­ti­cu­lar tie­ne sen­ti­do en uno de los sis­te­mas cons­truc­ti­vis­tas, el de per­te­nen­cia pa­ra el mo­de­lo de Neu­mann. En és­te pue­de de­cir­se que el 3 es­tá con­te­ni­do en el 5 ya que el con­jun­to que de­fi­ne el 5 con­tie­ne a su vez el con­jun­to que con­tie­ne el 4 y que re­pre­sen­ta el 4 quien a su vez con­tie­ne el que con­tie­ne el 3 y que re­pre­sen­ta el 3. Pe­ro es­to no su­ce­de en el mo­de­lo cons­truc­ti­vis­ta de Zer­me­lo, aun cuan­do el 3 de Neu­mann de­be­ría ser el mis­mo que el de Zer­me­lo. No obs­tan­te, al iden­ti­fi­car que un 3 en un mo­de­lo es dis­tin­to al 3 del otro se lle­ga a la con­tra­dic­to­ria con­clu­sión de que 3 no es igual a 3, al me­nos no es ése 3 igual al otro 3.
 
¿Cuál 3 es el bue­no? ¿Pue­de ha­ber un 3 me­jor que otro? ¿Qué mo­de­lo o sis­te­ma cons­truc­ti­vo es el ade­cua­do? Am­bos por su­pues­to, pues los dos ge­ne­ran a los nú­me­ros natu­ra­les. De he­cho, tam­bién se pue­den cons­truir a la ma­ne­ra de Fre­ge, con cla­ses; a la ma­ne­ra de Rus­sell, con ti­pos; a la ma­ne­ra de Pea­no, con axio­mas; o a la ma­ne­ra de cual­quier otro pro­ce­di­mien­to re­cur­si­vo o in­duc­ti­vo que ge­ne­re o de­fi­na las pro­pie­da­des de la es­truc­tu­ra de los nú­me­ros. En ese ca­so es di­fí­cil sos­te­ner que el 3 es un ob­je­to cuan­do por sus pro­pie­da­des no se pue­de iden­ti­fi­car a sí mis­mo, es­to a pe­sar de que en am­bos ca­sos la apli­ca­bi­li­dad de es­tos nú­me­ros que­da in­tac­ta, ya que sir­ven tam­bién pa­ra con­tar o me­dir co­mo cual­quier otro con­jun­to de nú­me­ros na­tu­ra­les cons­trui­dos. De to­do ello pue­de con­cluir­se que con­tar es real­men­te co­rre­la­cio­nar po­si­cio­nes en una es­truc­tu­ra. Es de es­ta ma­ne­ra co­mo sur­ge el es­truc­tu­ra­lis­mo.
 
Así, pa­ra Be­ne­ce­rraf y los es­truc­tu­ra­lis­tas la im­por­tan­cia de los nú­me­ros son su es­truc­tu­ra y no los nú­me­ros en sí. Es de­cir, los nú­me­ros, ya sea co­mo sím­bo­los o co­mo ob­je­tos, de­sem­pe­ñan un pa­pel den­tro de una es­truc­tu­ra, de tal ma­ne­ra que no im­por­ta lo que se co­lo­que en su lu­gar; cual­quier co­sa que cum­pla el pa­pel del 3 es y se­rá el nú­me­ro 3, sin im­por­tar lo que sea en sí.
 
Los nú­me­ros en el uso del len­gua­je na­tu­ral
 
 
En el uso co­ti­dia­no del len­gua­je hay ex­pre­sio­nes de la for­ma: “los leo­nes en el zoo­ló­gi­co son 17”. Al es­ti­lo de Kant ha­bría que iden­ti­fi­car el pre­di­ca­do del enun­cia­do y de­ci­dir si se tra­ta de un jui­cio sin­té­ti­co o ana­lí­ti­co, es de­cir que el su­je­to “los leo­nes en el zoo­ló­gi­co” con­ten­ga la in­for­ma­ción del pre­di­ca­do “son 17”. En es­te ejem­plo es más o me­nos cla­ro que se tra­ta de un enun­cia­do sin­té­tico, es de­cir, que me­dian­te el aná­li­sis del su­je­to no pue­de in­fe­rir­se la pro­pie­dad o in­for­ma­ción que ma­ni­fies­ta el pre­di­ca­do.
 
Sin em­bar­go, hay enun­cia­dos co­mo: “exis­ten 17 leo­nes en el zoo­ló­gi­co”, en don­de no es cla­ro cuál es el pre­di­ca­do y cuál el su­je­to. Fre­ge le da­ría un tra­to de ex­ten­sión del con­cep­to en el que de­fi­ni­ría la agru­pa­ción de las cla­ses con la mis­ma ex­ten­sión, es de­cir, si la ex­ten­sión del nú­me­ro de leo­nes cae ba­jo el con­cep­to de 17 en­ton­ces 17 es el nú­me­ro de leo­nes y to­do lo que cai­ga ba­jo el mis­mo con­cep­to ten­dría el mis­mo nú­me­ro que el nú­me­ro de leo­nes. Por el con­tra­rio, pa­ra Be­ne­ce­rraf no tie­ne sen­ti­do ha­blar de pre­di­ca­dos en el sen­ti­do lin­güís­ti­co de Fre­ge. Pa­ra él no exis­te la “for­ma co­rrec­ta” de tra­tar los nú­me­ros, pues és­tos son en­ti­da­des abs­trac­tas que se re­pre­sen­tan me­dian­te cual­quier sis­te­ma que ejem­pli­fi­que la es­truc­tu­ra. Por lo tan­to, los nú­me­ros no son ob­je­tos, ni si­quie­ra son con­jun­tos, y no tie­ne sen­ti­do ha­blar de la na­tu­ra­le­za de un nú­me­ro, si­no más bien de la es­truc­tu­ra de los nú­me­ros y sus re­la­cio­nes.
 
Así, en­ti­dad, co­sa u ob­je­to son pa­la­bras que de­sem­pe­ñan un pa­pel, por lo que lo im­por­tan­te es la es­truc­tu­ra. De igual ma­ne­ra, cual­quier sis­te­ma que ge­ne­re los nú­me­ros, sea el de Fre­ge, Rus­sell, Neu­mann, Zer­me­lo o Pea­no, es un sis­te­ma que cum­ple y ejem­pli­fi­ca la es­truc­tu­ra. Los nú­me­ros son irre­le­van­tes por sí so­los en cuan­to no per­mi­ten dis­tin­guir­se de un sis­te­ma a otro, por lo que, de al­gu­na for­ma es­to di­ce, en­tre lí­neas, que es­tos sis­te­mas son equi­va­len­tes en tan­to que ejem­pli­fi­can o son mo­de­los de una mis­ma es­truc­tu­ra. La pre­gun­ta de Fre­ge tam­po­co tie­ne sen­ti­do en­ton­ces, ya que la com­pa­ra­ción es irre­le­van­te en tan­to que pa­ra un es­truc­tu­ra­lis­ta no im­por­ta si el nú­me­ro 3 es igual a Ju­lio Cé­sar, y lo sea o no pa­ra él, es in­dis­tin­to mien­tras de­sem­pe­ñe el pa­pel de 3.
 
La iden­ti­dad es una re­la­ción que de­be en­mar­car­se den­tro de una teo­ría, de tal for­ma que se es­té ha­blan­do de co­sas de na­tu­ra­le­za tal, que pue­dan com­pa­rar­se y de­ci­dir­se si es igual o no a otra. Com­pa­rar a Ju­lio Cé­sar con un nú­me­ro es sin du­da un asun­to de fi­ló­so­fos que tie­ne to­do sen­ti­do y va­li­dez en tan­to da ori­gen a una dis­cu­sión y a ar­gu­men­tos des­de una y otra po­si­ción. Pa­ra un ma­te­má­ti­co es­truc­tu­ra­lis­ta bas­ta es­tar en la ter­ce­ra po­si­ción de una pro­gre­sión pa­ra ser el nú­me­ro 3. Y pa­ra un ma­te­má­ti­co fi­ló­so­fo re­sol­ver o es­tu­diar es­te ti­po de pro­ble­mas le otor­ga una vi­sión mu­cho más so­fis­ti­ca­da de su ac­ti­vi­dad.
Héc­tor Ze­nil Chá­vez
Fa­cul­tad de Cien­cias, Uni­ver­si­dad Na­cio­nal Au­tó­no­ma de Mé­xi­co.
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como citar este artículo

Zenil Chávez, Hector. (2004). ¿3=3? Lo que un número es o no es. Ciencias 74, abril-junio, 56-59. [En línea]

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